OBMEP 2019: Uma formiga caminha pela grade abaixo, podendo se mover apenas para a direita ou para cima

OBMEP 2019: Uma formiga caminha pela grade abaixo, podendo se mover apenas para a direita ou para cima. Se tiver duas opções para se mov...

OBMEP 2019: Uma formiga caminha pela grade abaixo, podendo se mover apenas para a direita ou para cima. Se tiver duas opções para se mover, ela escolhe uma ao acaso, com probabilidade 1/2. Qual é a probabilidade de que a formiga comece no ponto A e termine no ponto B?

A) 1/5
B) 1/32
C) 1/2
D) 1/10
E) 1/8

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: A rã Zinza quer ir da pedra 1 até a pedra 10 em cinco pulos, pulando de uma pedra para a seguinte ou por cima de uma ou de duas pedras. De quantas maneiras diferentes Zinza pode fazer isso?

RESOLUÇÃO:
Seja p a probabilidade de partir de A e chegar a B. Além disso, seja q a probabilidade de a formiga chegar a algum dos outros pontos no topo da pista, diferentes de B.

Como ela se move ou para a direita ou para cima, ela inevitavelmente chegará a um dos pontos do topo da pista. Assim temos que p + q =1.

Além disso, qualquer caminho que parte de A até B tem que ser do seguinte tipo: partindo de A chega até um dos pontos da linha vertical mais à direita, e sobe até B.

Isso significa que p é a soma das probabilidades de chegar a um dos pontos na linha mais à direita do ponto A.

Mas cada caminho desses tem um caminho correspondente, com a mesma probabilidade, que chega a um dos pontos no topo da pista. Para entender esse mapeamento, chame de V um movimento vertical e de H um movimento horizontal. Um caminho até um dos pontos no topo é uma sequência de movimentos VVHV...

Para cada caminho desses, corresponde um caminho até a linha vertical mais à direita, obtido pela troca de V ↔ H. Por exemplo, o caminho VVVHV vai de A até o segundo ponto do topo, da esquerda para a direita. O caminho HHHVH vai de A até o segundo ponto, de baixo para cima, na linha vertical mais à direita de A. Esses dois caminhos têm a mesma probabilidade.

Portanto, a soma das probabilidades de se partir de A e chegar a algum ponto da linha vertical mais à direita de A é q, o que implica p = q.

Mas, como p + q = 1, p = 1/2.

GABARITO:
C) 1/2

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Um reservatório, inicialmente vazio, é abastecido por duas torneiras de vazões diferentes.

Questão disponível em:
- Questões OBMEP 2019 com Gabarito e Resolução