(OBMEP) Na figura, dois vértices do hexágono regular maior coincidem com dois vértices do hexágono regular menor

(OBMEP) Na figura, dois vértices do hexágono regular maior coincidem com dois vértices do hexágono regular menor. O hexágono menor tem área igual a 10 cm². Qual é a área do hexágono maior?

A) 20 cm²
B) 30 cm²
C) 35 cm²
D) 36 cm²
E) 40 cm²

QUESTÃO ANTERIOR:

- (OBMEP) De quantas maneiras diferentes é possível pintar de preto algumas casas do quadriculado abaixo de modo que, em cada linha e em cada coluna, fiquem pintadas de preto exatamente três casas?

RESOLUÇÃO:
Primeiro decompomos o hexágono menor em seis triângulos equiláteros e vemos que a região de sobreposição tem área igual a duas metades de um desses triângulos equiláteros, ou seja, um triângulo equilátero inteiro, com área medindo, portanto, 10/6.

Veja a figura abaixo.

A seguir, dividimos o hexágono maior também em seis triângulos equiláteros e cada um desses triângulos em outros três menores, todos congruentes ao triângulo de sobreposição. O hexágono maior fica decomposto em 18 triângulos congruentes ao triângulo de sobreposição e, portanto, sua área é 18 x (10/6) = 30 cm².

Outra resolução: Vamos representar as medidas dos lados dos hexágonos, em centímetros, por a e b, conforme a figura abaixo, obtida a partir da figura do enunciado.

Observemos o triângulo retângulo com lados medindo a,

centímetros. Pelo Teorema de Pitágoras, obtemos que b² = 3a².Por outro lado, sabemos que os dois hexágonos são semelhantes, pois ambos são regulares.

Consequentemente, a razão entre as suas áreas é igual ao quadrado da razão entre os respectivos lados. Denotemos a área do hexágono maior, medida em centímetros quadrados, por S. Assim,