(OBMEP) Somando 1 a um certo número natural, obtemos um múltiplo de 11

(OBMEP) Somando 1 a um certo número natural, obtemos um múltiplo de 11. Subtraindo 1 desse mesmo número, obtemos um múltiplo de 8. Qual é o resto da divisão do quadrado desse número por 88?

A) 0
B) 1
C) 8
D) 10
E) 80

QUESTÃO ANTERIOR:

- (OBMEP) Ana, Beatriz e Cristina treinam numa pista de corrida. Ana corre sempre com o dobro da velocidade de Beatriz e com o triplo da velocidade de Cristina.

RESOLUÇÃO:
Lembramos primeiro que, se 𝑎 e 𝑏 são números naturais, dizer que 𝑎 é múltiplo de 𝑏 (ou 𝑏 divide 𝑎) é dizer que existe outro número natural 𝑐 tal que 𝑎 = 𝑏𝑐.

O algoritmo da divisão nos diz que, se 𝑏 ≠ 0, existem únicos inteiros 𝑞 e 𝑟 tais que 𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑟 e 0 ≤ 𝑟 < |𝑏|; os números 𝑞 e 𝑟 são ditos, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de 𝑎 por 𝑏 (se 𝑟 = 0, temos o caso em que 𝑎 é múltiplo de 𝑏).

Seja agora 𝑛 o número natural do enunciado. Como 𝑛 +1 é múltiplo de 11, existe um número natural 𝑡 tal que 𝑛 + 1 = 11𝑡; do mesmo modo, existe um número natural 𝑠 tal que 𝑛 −1 = 8𝑠.

Multiplicando membro a membro essas expressões, temos (𝑛 +1)(𝑛 −1) = 𝑛² −1 = 88𝑡𝑠, ou seja, 𝑛² = 88𝑡𝑠 +1. Essa última expressão mostra que o resto da divisão de 𝑛² por 88 é 1.

RESOLUÇÃO EM VÍDEO:

GABARITO:

B) 1

PRÓXIMA QUESTÃO:

- (OBMEP) Se f(x) = 5x² + ax + b, com a ≠ b, f(a) = b e f(b) = a, qual é o valor de a + b?

Questão disponível em:

- Questões OBMEP com Gabarito e Resolução