(OBMEP) Uma escola fez uma pesquisa com todos os alunos do sexto ano para verificar se eles gostavam de banana, maçã ou laranja

(OBMEP) Uma escola fez uma pesquisa com todos os alunos do sexto ano para verificar se eles gostavam de banana, maçã ou laranja. Cada aluno assinalou pelo menos uma dessas três frutas.

A tabela abaixo apresenta os resultados da pesquisa.

Por exemplo, 20 alunos do 6.º A assinalaram que gostam de banana. Quantos alunos há, no mínimo e no máximo, no sexto ano dessa escola?

A) No mínimo 54 e no máximo 126 alunos.
B) No mínimo 54 e no máximo 58 alunos.
C) No mínimo 27 e no máximo 54 alunos.
D) No mínimo 27 e no máximo 126 alunos.
E) No mínimo 31 e no máximo 58 alunos.

QUESTÃO ANTERIOR:

- (OBMEP) Após digitar um número de seis algarismos em sua calculadora, Cecília observou que dois algarismos 9 que ela havia digitado não apareceram no visor; o que apareceu foi 2017.

RESOLUÇÃO:
O maior número da primeira coluna é 20, o que mostra que o 6.° A tem pelo menos 20 alunos. Do mesmo modo, vemos que o 6.° B e o 6.° C têm no mínimo 20 e 14 alunos, respectivamente. Segue que o número mínimo possível de alunos do 6.° ano dessa escola é 20 + 20 + 14 = 54. Em outras palavras, concluímos que o número de alunos do 6.° ano é maior do que ou igual a 54.

É interessante mostrar que a tabela acima pode vir de uma turma de 6.° ano com exatamente 54 alunos. Isso acontece quando a turma do 6.° A tem 20 alunos, dos quais todos escolheram banana, 18 escolheram banana e laranja e 12 escolheram as três frutas; a turma do 6.° B tem 20 alunos, dos quais todos escolheram maçã, 15 escolheram banana e maçã e 5 escolheram as três frutas; e a turma do 6.° C tem 14 alunos, dos quais todos escolheram banana, 12 escolheram banana e maçã e 10 escolheram as três frutas.

Observamos agora que o maior número possível de alunos do 6.° A é 20 +12 + 18 = 50; analogamente, °6. ° B e ° 6.° C têm no máximo 15 + 20 + 5 = 40 e 14 + 12 +10 = 36 alunos, respectivamente. Segue que o número máximo possível de alunos do 6.° ano é 50+ 40 + 36 = 126. Essa conclusão diz que o número de alunos do 6.° ano é menor do que ou igual a 126. Uma turma de 6.° ano com exatamente 126 alunos na qual a pesquisa tenha tido o resultado da tabela acontece quando a turma do 6.° A tem 50 alunos, a turma do 6.°B tem 40 e a turma do 6.° C tem 36, sendo que cada aluno escolheu uma única fruta.

RESOLUÇÃO EM VÍDEO:

GABARITO:

A) No mínimo 54 e no máximo 126 alunos.

PRÓXIMA QUESTÃO:

- (OBMEP) Em uma competição, as partidas têm duração de 60 minutos, e cada time tem sempre 5 jogadores em campo.

Questão disponível em:

- Questões OBMEP com Gabarito e Resolução