OBMEP 2019: Marcelo lança cinco argolas em um pino de madeira, uma de cada vez

OBMEP 2019: Marcelo lança cinco argolas em um pino de madeira, uma de cada vez. Quando a argola acerta o pino, ele ganha pontos, conforme a ...

OBMEP 2019: Marcelo lança cinco argolas em um pino de madeira, uma de cada vez. Quando a argola acerta o pino, ele ganha pontos, conforme a tabela abaixo.

Quando a argola não acerta o pino, ele não ganha pontos. A figura mostra cinco lançamentos feitos por Marcelo, em que somente as argolas azul e verde acertaram o pino.

Observe que a argola verde foi a última lançada, pois ficou sobre as outras.

a) Quantos pontos Marcelo fez com os cinco lançamentos mostrados na figura acima?


b) Em outros cinco lançamentos, Marcelo só errou um deles e fez 17 pontos. Qual foi o número do lançamento que ele
errou?


c) A figura abaixo mostra como ficaram outros cinco lançamentos feitos por Marcelo. Se a terceira argola lançada foi a vermelha, qual é a maior pontuação que ele pode ter obtido nesses lançamentos?

QUESTÃO ANTERIOR:
- mais questões da OBMEP.

GABARITO:

a) De acordo com a figura, a primeira argola que foi lançada foi a amarela, pois ela está completamente em contato com a mesa, sem nenhuma embaixo dela, e as demais, em contato entre si, estão de algum modo acima dela. A seguir foi lançada a argola azul, depois a vermelha, depois a preta e, finalmente, a verde. Em suma, o que ocorreu foi o seguinte:

1º. lançamento: a argola amarela não está enlaçada – 0 ponto;
2º. lançamento: a argola azul está enlaçada – 5 pontos;
3º. lançamento: a argola vermelha não está enlaçada – 0 ponto;
4º. lançamento: a argola preta não está enlaçada – 0 ponto;
5º. lançamento: a argola verde está enlaçada – 1 ponto.

Assim, as jogadas que marcaram pontos foram a segunda e a quinta, logo, Marcelo fez 6 pontos.

b) O lançamento que Marcelo errou foi o terceiro. De fato, 10 + 5 + 1 + 1 = 17 e, de acordo com o enunciado, essa é a única maneira de se obterem 17 pontos.

c) Para obter pontuação máxima na situação descrita, Marcelo deve acertar o maior número possível de argolas nas primeiras jogadas; entretanto, como a argola vermelha está em cima da preta, a argola preta deve ter sido jogada antes dela, na primeira ou na segunda jogada. Para maximizar a pontuação, a segunda argola jogada deve ter sido a preta. Conclui-se que a pontuação máxima deve ocorrer quando a argola azul for a primeira a ser jogada (10 pontos) e a argola verde for a quarta ou a quinta a ser jogada (mais 1 ponto). A pontuação, nesse caso maximal, é, portanto, 10 + 1 = 11 pontos.

Outra solução: Se todas as argolas fossem enlaçadas, a pontuação máxima seria 20 pontos. Como a argola vermelha foi a terceira a ser lançada, Marcelo errou, logo, desconta-se 3 pontos. Para Marcelo ter obtido a soma máxima, a argola preta, que também errou, deve ter sido a segunda a ser lançada, então, desconta-se mais 5 pontos. Por último, a argola amarela pode ter sido a quarta ou a quinta a ser lançada. Logo, desconta-se mais um ponto. Portanto, a pontuação máxima é 20 – 3 – 5 – 1 = 11 pontos.

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Roberta tem duas cartelas, uma com os números de 1 a 15 e outra com os números de 16 a 30. Ela escolhe um número de cada cartela e calcula a soma deles.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Questões da OBMEP 2019 (2ª Fase) com Gabarito e Resolução