OBMEP 2019: Roberta tem duas cartelas, uma com os números de 1 a 15 e outra com os números de 16 a 30

OBMEP 2019: Roberta tem duas cartelas, uma com os números de 1 a 15 e outra com os números de 16 a 30. Ela escolhe um número de cada cartela e calcula a soma deles.

a) Quais são as escolhas possíveis para Roberta obter a soma 18?

b) Se Roberta fizer todas as escolhas possíveis, quantos resultados diferentes ela poderá obter?

c) Se Roberta fizer todas as escolhas possíveis, qual é o resultado que aparecerá mais vezes? Por quê?

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: Marcelo lança cinco argolas em um pino de madeira, uma de cada vez.

GABARITO:

a) Para que a soma seja 18, as únicas escolhas possíveis são 1 e 17 ou 2 e 16.

b) A menor soma possível é 1 + 16 = 17, e a maior, 15 + 30 = 45. Começando com 17 e terminando em 45 (incluindoos) há 45 – 17 + 1 = 29 termos. Portanto, há 29 resultados possíveis para a soma. São eles:

17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44 e 45.

c) O resultado mais frequente é 31. Este resultado pode ser obtido de 15 maneiras diferentes: 1 + 30, 2 + 29,..., 14+17, 15+16. Além disso:

- Para obter soma 30 ou menor, podemos usar 1 da primeira tabela, mas já não podemos mais usar o número 30 da segunda tabela e, portanto, a quantidade de resultados menores do que 30 diminui.

- Para obter soma 32 ou maior, podemos utilizar 30 da segunda tabela, mas já não podemos mais usar o número 1 da primeira tabela e, assim, a quantidade de resultados diminui, também nesse caso.

Uma outra maneira simples de ver como 31 aparece com mais frequência é listar mental e organizadamente todas as 15 x 15 = 225 somas possíveis em uma tabela: