Questões da OBMEP 2019 (2ª Fase) com Gabarito e Resolução

Prova da OBMEP 2019 Segunda Fase com Gabarito

QUESTÃO 01 - NÍVEL 1
OBMEP 2019: Marcelo lança cinco argolas em um pino de madeira, uma de cada vez. Quando a argola acerta o pino, ele ganha pontos, conforme a tabela abaixo.

Quando a argola não acerta o pino, ele não ganha pontos. A figura mostra cinco lançamentos feitos por Marcelo, em que somente as argolas azul e verde acertaram o pino.

Observe que a argola verde foi a última lançada, pois ficou sobre as outras.

a) Quantos pontos Marcelo fez com os cinco lançamentos mostrados na figura acima?

b) Em outros cinco lançamentos, Marcelo só errou um deles e fez 17 pontos. Qual foi o número do lançamento que ele
errou?

c) A figura abaixo mostra como ficaram outros cinco lançamentos feitos por Marcelo. Se a terceira argola lançada foi a vermelha, qual é a maior pontuação que ele pode ter obtido nesses lançamentos?

GABARITO.

QUESTÃO 02 - NÍVEL 1
OBMEP 2019: Roberta tem duas cartelas, uma com os números de 1 a 15 e outra com os números de 16 a 30. Ela escolhe um número de cada cartela e calcula a soma deles.

a) Quais são as escolhas possíveis para Roberta obter a soma 18?

b) Se Roberta fizer todas as escolhas possíveis, quantos resultados diferentes ela poderá obter?

c) Se Roberta fizer todas as escolhas possíveis, qual é o resultado que aparecerá mais vezes? Por quê?

GABARITO.

QUESTÃO 03 - NÍVEL 1
OBMEP 2019: Paulinho tem peças com cinco formas diferentes (cubos, pirâmides, esferas, cilindros e cones). Peças com a mesma forma têm o mesmo peso (massa). Ele coloca algumas peças numa balança de pratos e observa o equilíbrio nas duas situações abaixo.

Ele coloca algumas peças numa balança de pratos e observa o equilíbrio nas duas situações abaixo

a) Indique se as figuras abaixo representam situações certas ou erradas.

b) Qual das figuras abaixo representa a situação correta?

c) Com alguns pesos conhecidos, Paulinho observou a situação de equilíbrio abaixo. Quanto pesam, juntos, um cubo, uma pirâmide, uma esfera, um cilindro e um cone?

Quanto pesam, juntos, um cubo, uma pirâmide, uma esfera, um cilindro e um cone

GABARITO.

QUESTÃO 04 - NÍVEL 1
OBMEP 2019: Na figura, o quadrado tem lado 1 cm. Os quatro triângulos azuis são iguais, assim como os dois triângulos amarelos menores.

Os quatro triângulos amarelos maiores têm, cada um deles, base igual ao lado do quadrado, altura com relação a essa base igual a 1 cm, e seus outros dois lados com mesma medida.

Dois lados do quadrilátero rosa são paralelos aos lados do quadrado.

a) Qual é a área da região formada pelos triângulos azuis?

b) Qual é a área da região formada pelos triângulos amarelos?

c) Qual é a área do quadrilátero rosa?

GABARITO.

QUESTÃO 05 - NÍVEL 1
OBMEP 2019: A Figura 1 é uma planificação de um cubo. Fazendo as dobras necessárias e colando as arestas soltas, obtemos o cubo da Figura 2.

a) Em uma outra vista do mesmo cubo, mostrada abaixo, está faltando o desenho na face da frente. Faça esse desenho.

b) Abaixo temos outras duas vistas do mesmo cubo, cada uma com a face da frente sem desenho. Faça os desenhos que faltam nessas faces.

c) Abaixo temos uma outra planificação do mesmo cubo. Faça, nessa planificação, os desenhos que estão faltando.

GABARITO.

QUESTÃO 06 - NÍVEL 1
OBMEP 2019: Os números da tabela abaixo serão colocados nos círculos coloridos de modo que nenhum deles apareça mais de uma vez e a soma dos números em três círculos consecutivos seja sempre um múltiplo de 3.

a) Complete o preenchimento abaixo.

b) Explique por que, em qualquer preenchimento, três círculos consecutivos sempre serão preenchidos com números de colunas diferentes da tabela.

c) Quantos preenchimentos diferentes são possíveis?

GABARITO.

QUESTÃO 07 - NÍVEL 2
OBMEP 2019: Na figura, OA = OB = OC. Os pontos A, O e D estão alinhados, e os pontos D e E no segmento BC são tais que BD = DE = EC = OD = OE.

a) Calcule a medida do ângulo

b) Calcule a medida do ângulo BÔE.

c) Calcule a medida do ângulo BÂC.

GABARITO.

QUESTÃO 08 - NÍVEL 2

OBMEP 2019: A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número n diferente de 2 está no visor e ele aperta a tecla especial, aparece o número

Por exemplo, se o número 3 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece o número 6, pois

a) Se o número 6 está no visor, qual é o número que aparecerá se a tecla especial for apertada?

b) Explique por que, ao apertar duas vezes a tecla especial, Dario sempre obtém o número que estava inicialmente no visor.

c) Para quais valores no visor Dario obtém o mesmo número ao apertar a tecla especial uma única vez?

d) Qual é o número que nunca será obtido ao apertar a tecla especial?

GABARITO.

QUESTÃO 09 - NÍVEL 2
OBMEP 2019: Dizemos que uma fila de cadeiras de cinema está ocupada de forma quase-cheia quando não há duas cadeiras consecutivas ocupadas, mas a próxima pessoa a chegar será obrigada a sentar-se ao lado de uma cadeira já ocupada.

Uma fila de 5 cadeiras tem exatamente quatro ocupações quase-cheias, mostradas abaixo. As cadeiras marcadas com X indicam que elas estão ocupadas.

a) Uma fila de 6 cadeiras possui cinco ocupações quase-cheias. Marque com X as cadeiras dessas ocupações.

b) Quantas são as ocupações quase-cheias em uma fi la de 8 cadeiras em que a segunda cadeira já está ocupada?

c) A tabela abaixo apresenta o número de ocupações quase-cheias para algumas fi las de cadeiras. Calcule o total de ocupações quase-cheias em uma fi la com 19 cadeiras. Justifique.

GABARITO.

QUESTÃO 10 - NÍVEL 2
OBMEP 2019: Um triângulo com vértices em três dos 16 pontos do quadriculado ao lado é chamado de torto quando, no máximo, um de seus lados está sobre as linhas do quadriculado. Por exemplo, o triângulo ABC é torto e o triângulo ABD não é torto.

a) Diga se cada um dos triângulos ACD e BCD da fi gura ao lado são tortos ou não.

b) Marque seis pontos no quadriculado de tal forma que qualquer triângulo com vértices em três desses pontos seja torto.

c) Explique por que, independentemente de como sete pontos sejam marcados no quadriculado, sempre vai existir um triângulo que não é torto com vértices nesses pontos.

GABARITO.

QUESTÃO 11 - NÍVEL 3

OBMEP 2019: As amigas Ana, Beatriz, Cláudia e Diana têm uma bola cada uma. Quando toca um sinal, cada menina escolhe, ao acaso, uma de suas três amigas para jogar sua bola.

a) Qual é a probabilidade de que Ana receba três bolas?

b) Qual é a probabilidade de que Ana receba exatamente duas bolas?

c) Qual é a probabilidade de que cada menina receba uma bola?

GABARITO.

QUESTÃO 12 - NÍVEL 3
OBMEP 2019: a) Na figura abaixo, o ponto O no interior do retângulo ABCD é tal que OF = 2, OG = 6, OH = 3 e OI = 1. Os segmentos FG e HI são paralelos aos lados AB e BC, respectivamente. Calcule OB² + OD².

b) Seja O um ponto qualquer no interior de um retângulo ABCD, como na fi gura abaixo. Mostre que OA² + OC² = OB² + OD².

c) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os segmentos AQ, BP, CN e DM são tangentes ao círculo de centro O. Se CN = 10, BP = 8 e DM = 7, determine o comprimento de AQ.

GABARITO.

QUESTÃO 13 - NÍVEL 3
OBMEP 2019: Um tabuleiro preenchido com as letras A, B, C e D é bacana se essas quatro letras aparecem em qualquer quadriculado 2 × 2 do tabuleiro. Por exemplo, dos tabuleiros abaixo, o da esquerda é bacana e o da direita não é bacana.

a) Preencha os tabuleiros abaixo de modo que eles sejam bacanas e diferentes entre si.

b) Quantos tabuleiros bacanas 2 8 × existem?

c) Quantos tabuleiros bacanas 8 8 × existem?

GABARITO.

QUESTÃO 14 - NÍVEL 3
OBMEP 2019: Seis livros, numerados de 1 a 6, estão inicialmente distribuídos entre seis pessoas A, B, C, D , E e F, respectivamente. Cada uma delas pode trocar seu livro com o de outra pessoa uma única vez por dia.

A tabela abaixo mostra um exemplo de possíveis trocas de livros entre as pessoas em dois dias. No 1º dia, as pessoas A e D, bem como B e E, trocaram livros entre si, e C e F não trocaram seus livros. No 2º dia, somente A e C trocaram livros entre si.

Observe que, após o 2º dia, ocorreu a seguinte distribuição de livros:

• o livro que estava com A ficou com D, o livro que estava com D fi cou com C, e o livro que estava com C fi cou com A;

• o livro que estava com B ficou com E, e o livro que estava com E fi cou com B;

• o livro que estava com F ficou com ele mesmo.

a) Complete a tabela abaixo de acordo com as trocas indicadas: