OBMEP 2019: Os números da tabela abaixo serão colocados nos círculos coloridos de modo que nenhum deles apareça mais de uma vez e a soma dos...
OBMEP 2019: Os números da tabela abaixo serão colocados nos círculos coloridos de modo que nenhum deles apareça mais de uma vez e a soma dos números em três círculos consecutivos seja sempre um múltiplo de 3.
a) Complete o preenchimento abaixo.
b) Explique por que, em qualquer preenchimento, três círculos consecutivos sempre serão preenchidos com números de colunas diferentes da tabela.
c) Quantos preenchimentos diferentes são possíveis?
QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: A Figura 1 é uma planificação de um cubo. Fazendo as dobras necessárias e colando as arestas soltas, obtemos o cubo da Figura 2.
GABARITO:
a) Há muitos exemplos, observe um deles:
b) Para que a soma de três números seja múltipla de 3, uma dentre duas coisas deve acontecer:
1. Os três deixam o mesmo resto da divisão por 3, ou seja, os 3 são de uma mesma coluna da tabela.
ou
2. Cada um dos três deixa resto diferente na divisão por 3, ou seja, os 3 números são de três colunas diferentes. Vamos ver que a alternativa 1 não pode ocorrer. Para isso, suponhamos que dois vizinhos, os quais indicaremos pelas letras c e d, estão em uma mesma coluna da tabela, ou seja, deixam o mesmo resto da divisão por 3. Indiquemos por b e e os vizinhos de c e de d, respectivamente, como na figura:
Então, como (b + c + d) é múltiplo de 3, obrigatoriamente b terá que ser da mesma coluna da tabela onde ficam c e d. Da mesma forma, como (c + d + e) é múltiplo de 3, obrigatoriamente e também estaria na mesma coluna da tabela, o que é impossível pois, pelo enunciado, nenhum número pode repetir no preenchimento e em cada coluna da tabela só há espaço para três números.
Já que não podemos ter 2 vizinhos de uma mesma coluna, então só sobra a alternativa 2, ou seja, 3 bolas consecutivas precisam ser preenchidas com 3 números posicionados em 3 colunas diferentes da tabela 3 x 3 do enunciado.
Observemos atentamente a figura abaixo, onde destacamos três triângulos coloridos:
Os vértices do triângulo azul são sempre preenchidos com os números de uma mesma coluna da tabela apresentada no enunciado; os vértices do triângulo vermelho, com os números de outra coluna e, finalmente, os vértices do triângulo verde, com os números da coluna restante.
c) Agora vamos calcular de quantas formas podemos preencher as bolas coloridas:
Começaremos escolhendo o número que preencherá a bola azul clara (9 possibilidades), em seguida, o número da bola amarela (2 possibilidades), pois é da mesma coluna da azul clara e, por fim, a bola marrom (1 possibilidade), pois também é da mesma coluna, conforme o diagrama abaixo:
Agora, vamos preencher o trio de bolas da figura abaixo, que estão nos vértices do triângulo vermelho (os números dessas bolas devem estar na mesma coluna da tabela): 6 possibilidades para bola laranja, 2 possibilidades para bola rosa e 1 possibilidade para bola azul escura, conforme o diagrama abaixo:
Enfim, vamos preencher os 3 círculos que faltam, lembrando que as bolas nos vértices do triângulo verde devem pertencer à mesma coluna restante da tabela, conforme o diagrama abaixo:
Portanto, o total de possibilidades é 9 x 2 x 1 x 6 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 = 1296
Outra solução:
Começaremos escolhendo o número que preencherá a bola azul clara (9 possibilidades), em seguida, o número da bola laranja (6 possibilidades), pois deve ser de uma das outras duas colunas, que não aquela da azul clara e, por fim, a bola verde clara (3 possibilidades), pois deve ser da coluna restante, diferente da coluna da azul clara e da laranja. Agora, vamos preencher a bola amarela (2 possibilidades), pois este número deverá ser de uma coluna diferente da laranja e da verde clara, logo, deve ser da mesma coluna da azul clara. O número que preencherá a bola rosa deve ser da mesma coluna da laranja (2 possibilidades), e o número que preencherá a bola cinza da mesma coluna da verde clara (2 possibilidades).
Enfim, vamos preencher os 3 círculos que faltam, seguindo o mesmo raciocínio a bola marrom deve ser da coluna das bolas amarela e azul clara (1 possibilidade), a bola azul escura deve ser da coluna das bolas rosa e laranja (1 possibilidade) e a bola verde escura deve ser da mesma coluna da bolas cinza e verde clara (1 possibilidade). Portanto, o total de possibilidades é 9 x 6 x 3 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 = 1296.
PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Na figura, OA = OB = OC. Os pontos A, O e D estão alinhados, e os pontos D e E no segmento BC são tais que BD = DE = EC = OD = OE.
QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Questões da OBMEP 2019 (2ª Fase) com Gabarito e Resolução
a) Complete o preenchimento abaixo.
b) Explique por que, em qualquer preenchimento, três círculos consecutivos sempre serão preenchidos com números de colunas diferentes da tabela.
c) Quantos preenchimentos diferentes são possíveis?
QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: A Figura 1 é uma planificação de um cubo. Fazendo as dobras necessárias e colando as arestas soltas, obtemos o cubo da Figura 2.
GABARITO:
a) Há muitos exemplos, observe um deles:
b) Para que a soma de três números seja múltipla de 3, uma dentre duas coisas deve acontecer:
1. Os três deixam o mesmo resto da divisão por 3, ou seja, os 3 são de uma mesma coluna da tabela.
ou
2. Cada um dos três deixa resto diferente na divisão por 3, ou seja, os 3 números são de três colunas diferentes. Vamos ver que a alternativa 1 não pode ocorrer. Para isso, suponhamos que dois vizinhos, os quais indicaremos pelas letras c e d, estão em uma mesma coluna da tabela, ou seja, deixam o mesmo resto da divisão por 3. Indiquemos por b e e os vizinhos de c e de d, respectivamente, como na figura:
Então, como (b + c + d) é múltiplo de 3, obrigatoriamente b terá que ser da mesma coluna da tabela onde ficam c e d. Da mesma forma, como (c + d + e) é múltiplo de 3, obrigatoriamente e também estaria na mesma coluna da tabela, o que é impossível pois, pelo enunciado, nenhum número pode repetir no preenchimento e em cada coluna da tabela só há espaço para três números.
Já que não podemos ter 2 vizinhos de uma mesma coluna, então só sobra a alternativa 2, ou seja, 3 bolas consecutivas precisam ser preenchidas com 3 números posicionados em 3 colunas diferentes da tabela 3 x 3 do enunciado.
Observemos atentamente a figura abaixo, onde destacamos três triângulos coloridos:
Os vértices do triângulo azul são sempre preenchidos com os números de uma mesma coluna da tabela apresentada no enunciado; os vértices do triângulo vermelho, com os números de outra coluna e, finalmente, os vértices do triângulo verde, com os números da coluna restante.
c) Agora vamos calcular de quantas formas podemos preencher as bolas coloridas:
Começaremos escolhendo o número que preencherá a bola azul clara (9 possibilidades), em seguida, o número da bola amarela (2 possibilidades), pois é da mesma coluna da azul clara e, por fim, a bola marrom (1 possibilidade), pois também é da mesma coluna, conforme o diagrama abaixo:
Agora, vamos preencher o trio de bolas da figura abaixo, que estão nos vértices do triângulo vermelho (os números dessas bolas devem estar na mesma coluna da tabela): 6 possibilidades para bola laranja, 2 possibilidades para bola rosa e 1 possibilidade para bola azul escura, conforme o diagrama abaixo:
Enfim, vamos preencher os 3 círculos que faltam, lembrando que as bolas nos vértices do triângulo verde devem pertencer à mesma coluna restante da tabela, conforme o diagrama abaixo:
Portanto, o total de possibilidades é 9 x 2 x 1 x 6 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 = 1296
Outra solução:
Começaremos escolhendo o número que preencherá a bola azul clara (9 possibilidades), em seguida, o número da bola laranja (6 possibilidades), pois deve ser de uma das outras duas colunas, que não aquela da azul clara e, por fim, a bola verde clara (3 possibilidades), pois deve ser da coluna restante, diferente da coluna da azul clara e da laranja. Agora, vamos preencher a bola amarela (2 possibilidades), pois este número deverá ser de uma coluna diferente da laranja e da verde clara, logo, deve ser da mesma coluna da azul clara. O número que preencherá a bola rosa deve ser da mesma coluna da laranja (2 possibilidades), e o número que preencherá a bola cinza da mesma coluna da verde clara (2 possibilidades).
Enfim, vamos preencher os 3 círculos que faltam, seguindo o mesmo raciocínio a bola marrom deve ser da coluna das bolas amarela e azul clara (1 possibilidade), a bola azul escura deve ser da coluna das bolas rosa e laranja (1 possibilidade) e a bola verde escura deve ser da mesma coluna da bolas cinza e verde clara (1 possibilidade). Portanto, o total de possibilidades é 9 x 6 x 3 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 = 1296.
PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Na figura, OA = OB = OC. Os pontos A, O e D estão alinhados, e os pontos D e E no segmento BC são tais que BD = DE = EC = OD = OE.
QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Questões da OBMEP 2019 (2ª Fase) com Gabarito e Resolução
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