OBMEP 2019: Na figura, OA = OB = OC. Os pontos A, O e D estão alinhados

OBMEP 2019: Na figura, OA = OB = OC. Os pontos A, O e D estão alinhados, e os pontos D e E no segmento BC são tais que BD = DE = EC = OD = O...

OBMEP 2019: Na figura, OA = OB = OC. Os pontos A, O e D estão alinhados, e os pontos D e E no segmento BC são tais que BD = DE = EC = OD = OE.

a) Calcule a medida do ângulo

b) Calcule a medida do ângulo BÔE.

c) Calcule a medida do ângulo BÂC.

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: Os números da tabela abaixo serão colocados nos círculos coloridos de modo que nenhum deles apareça mais de uma vez e a soma dos números em três círculos consecutivos seja sempre um múltiplo de 3.

GABARITO:

a) Como OE = OD = DE , segue que o triângulo ODE é equilátero. Logo 𝑚() = 𝑚(OÊD) = 𝑚(DÔE) = 60°

b) Observe que 𝑚(BÔE) = 𝑚(BÔD) + 𝑚(DÔE) = 𝑚(BÔD) + 60°. Por outro lado, o ângulo BÔD é um dos ângulos da base do triângulo isósceles OBD, já que OD = BD; além disso, o ângulo oposto à base OB desse triângulo mede 120°, já que é suplementar do ângulo 𝑂𝐷̂𝐸 que, como vimos no item anterior, mede 60°.

Assim

Concluímos então que 𝑚(BÔE) = 𝑚(BÔD) + 60° = 30° + 60° = 90°.

c) Observe que 𝑚(BÂC) = 𝑚(BÂO) + 𝑚(OÂC) = 𝛼 + 𝛽, como na figura ao lado. Como os triângulos OAB e OAC são isósceles, segue que 𝑚() = 𝛼 e 𝑚() = 𝛽. Além disso, os triângulos ODB e OEC são congruentes pelo caso

Lado-Ângulo-Lado, e, portanto, 𝑚(OÊC) = 120°, 𝑚() = 30° e 𝑚(CÔE) = 30°.

Somando os ângulos internos do triângulo ABC, temos (𝛼 +30°) + (𝛽 + 30°) + (𝛼 +𝛽) = 180°. Logo 2𝛼 + 2𝛽 = 180° − 30° − 30° = 120° e, portanto, 𝑚(BÂC) = 𝛼 + 𝛽 = 60°.

É fácil observar também que 𝛼 = 15° e 𝛽 = 45°, pois A, O e D estão alinhados.

Há muitas outras soluções; uma segunda solução é a seguinte:

Observe que o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O e raio OA. O ângulo central 𝐵𝑂̂𝐶 e o ângulo inscrito 𝐵𝐴̂𝐶 enxergam o mesmo arco. Como BÔC mede 120°, então BÂC mede metade, ou seja, 60°.

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número n diferente de 2 está no visor e ele aperta a tecla especial, aparece o número

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Questões da OBMEP 2019 (2ª Fase) com Gabarito e Resolução