OBMEP 2019: Paulinho tem peças com cinco formas diferentes (cubos, pirâmides, esferas, cilindros e cones)

OBMEP 2019: Paulinho tem peças com cinco formas diferentes (cubos, pirâmides, esferas, cilindros e cones). Peças com a mesma forma têm o mes...

OBMEP 2019: Paulinho tem peças com cinco formas diferentes (cubos, pirâmides, esferas, cilindros e cones). Peças com a mesma forma têm o mesmo peso (massa). Ele coloca algumas peças numa balança de pratos e observa o equilíbrio nas duas situações abaixo.

a) Indique se as figuras abaixo representam situações certas ou erradas.

b) Qual das figuras abaixo representa a situação correta?

c) Com alguns pesos conhecidos, Paulinho observou a situação de equilíbrio abaixo. Quanto pesam, juntos, um cubo, uma pirâmide, uma esfera, um cilindro e um cone?

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: Roberta tem duas cartelas, uma com os números de 1 a 15 e outra com os números de 16 a 30. Ela escolhe um número de cada cartela e calcula a soma deles.


GABARITO:

Observe as duas balanças que aparecem inicialmente no enunciado.

Na segunda delas, retirando-se o cilindro, notamos que o cone é mais pesado do que a pirâmide:

Logo, a ilustração que aparece na primeira balança no item a) está certa.

Analogamente, retirando-se o cilindro da primeira balança que aparece inicialmente no enunciado, vemos que a esfera pesa mais do que o cubo:

Logo, a segunda ilustração que aparece no item a) também está correta.

A figura correta é a que está em equilíbrio (Figura C). Isto pode ser confirmado por meio das pesagens descritas a seguir. Partimos de

e acrescentamos uma pirâmide em cada um dos pratos:

Sabemos que uma pirâmide e um cilindro, juntos, pesam o mesmo que um cone (veja a segunda balança do enunciado). Logo, na balança acima, depois de acrescentadas as pirâmides em ambos os pratos, podemos trocar, no segundo prato, a pirâmide e o cilindro por um cone, obtendo a balança da Figura C.

Partimos inicialmente da seguinte situação de equilíbrio:

ou seja, duas pirâmides, duas esferas e um cilindro, juntos, pesam 5 + 10 + 15 = 30 gramas. Utilizando o resultado obtido em b), podemos trocar uma esfera e uma pirâmide por um cone e um cubo, obtendo:

Assim, os cinco sólidos diferentes, juntos, pesam 30 gramas.

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Na figura, o quadrado tem lado 1 cm. Os quatro triângulos azuis são iguais, assim como os dois triângulos amarelos menores.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Questões da OBMEP 2019 (2ª Fase) com Gabarito e Resolução