OBMEP 2019: Um tabuleiro preenchido com as letras A, B, C e D é bacana se essas quatro letras aparecem

OBMEP 2019: Um tabuleiro preenchido com as letras A, B, C e D é bacana se essas quatro letras aparecem em qualquer quadriculado 2 × 2 do tab...

OBMEP 2019: Um tabuleiro preenchido com as letras A, B, C e D é bacana se essas quatro letras aparecem em qualquer quadriculado 2 × 2 do tabuleiro. Por exemplo, dos tabuleiros abaixo, o da esquerda é bacana e o da direita não é bacana.

a) Preencha os tabuleiros abaixo de modo que eles sejam bacanas e diferentes entre si.

b) Quantos tabuleiros bacanas 2 8 × existem?

c) Quantos tabuleiros bacanas 8 8 × existem?

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: a) Na figura abaixo, o ponto O no interior do retângulo ABCD é tal que OF = 2, OG = 6, OH = 3 e OI = 1.

GABARITO:
a)

b) No caso 2 x 8, uma vez escritas as letras nas quatro casas do primeiro quadrado 2 x 2 da esquerda, cada coluna seguinte pode ser preenchida de 2 modos; logo, há 4! 2⁶ = 153⁶ modos de preenchimento.

c) Vamos ao tabuleiro 8 x 8. Fixemos momentaneamente um preenchimento do quadrado 2 x 2 superior esquerdo. Vimos em b) que há 2⁶ = 64 maneiras diferentes de se preencherem as duas primeiras linhas do tabuleiro 2 x 8, mantendo o preenchimento do quadrado superior esquerdo 2 x 2 que fixamos.

Dentre essas 64 possibilidades, uma delas é tal que na primeira linha do tabuleiro aparecem apenas duas letras que se alternam. Nesse caso, a segunda linha também tem alternância de duas letras em seu preenchimento, e essa alternância está determinada de modo único devido ao preenchimento do quadrado superior esquerdo 2 x 2 que fixamos inicialmente. Assim, nesse caso, nas demais 6 linhas também deve ocorrer alternância de duas letras e, portanto, há 2⁶ = 64 possibilidades de preenchimento.

Nos outros 63 casos (em que não há alternância de duas letras na primeira linha), estando as duas primeiras linhas do tabuleiro corretamente preenchidas, há um único preenchimento para as demais linhas.

Logo, há 64 + 63 = 2⁶ + 2⁶ – 1 = 2⁷ – 1 = 127 possibilidades de preenchimento, uma vez fixado o quadrado o preenchimento do quadrado superior esquerdo 2 x 2. Como esse quadrado pode ser preenchido de 4! formas distintas, o tabuleiro 8 x 8 pode ser preenchido de 4! x 127 = 3048 maneiras diferentes.

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Seis livros, numerados de 1 a 6, estão inicialmente distribuídos entre seis pessoas A, B, C, D , E e F, respectivamente. Cada uma delas pode trocar seu livro com o de outra pessoa uma única vez por dia.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Questões da OBMEP 2019 (2ª Fase) com Gabarito e Resolução