OBMEP 2019: a) Na figura abaixo, o ponto O no interior do retângulo ABCD é tal que OF = 2, OG = 6, OH = 3 e OI = 1

OBMEP 2019: a) Na figura abaixo, o ponto O no interior do retângulo ABCD é tal que OF = 2, OG = 6, OH = 3 e OI = 1. Os segmentos FG e HI são...

OBMEP 2019: a) Na figura abaixo, o ponto O no interior do retângulo ABCD é tal que OF = 2, OG = 6, OH = 3 e OI = 1. Os segmentos FG e HI são paralelos aos lados AB e BC, respectivamente. Calcule OB² + OD².

b) Seja O um ponto qualquer no interior de um retângulo ABCD, como na fi gura abaixo. Mostre que OA² + OC² = OB² + OD².

c) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os segmentos AQ, BP, CN e DM são tangentes ao círculo de centro O. Se CN = 10, BP = 8 e DM = 7, determine o comprimento de AQ.

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: As amigas Ana, Beatriz, Cláudia e Diana têm uma bola cada uma. Quando toca um sinal, cada menina escolhe, ao acaso, uma de suas três amigas para jogar sua bola.

GABARITO:
a)

Pelo Teorema de Pitágoras, temos: OD² = OF² + FD² = OF² + OH² e, da mesma forma, OB² = OG² + GB² = OG² + OI².

Assim,
OD² + OB² = OF²+ OH² + OG²+ OI² = 4 + 9 + 36 + 1 = 50.

b) Observemos a figura a seguir onde estão traçados os segmentos HI e FG, perpendiculares aos lados AB e BC, respectivamente.

De forma similar ao item a), usando o Teorema de Pitágoras, obtemos as igualdades:

1) OD² + OB² = OF² + OH² + OG² + OI²,
2) OA² + OC² = OF² + OI² + OH² + OG²,

de onde decorre a igualdade OA² + OC² = OD² + OB².

c)

De acordo com o item b), temos que

(1) OA² + OC² = OD² + OB².

Por outro lado, denotando por R o raio do círculo e usando propriedades de tangência ao círculo, valem as relações:

(2) OA² = AQ² + R²,
(3) OC² = NC² + R²,
(4) OD² = MD² + R²,
(5) OB² = PB² + R².

Finalmente, substituindo as igualdades (2), (3), (4) e (5) em (1), obtemos

AQ² + R² + NC² + R² = MD² + R² + PB² + R², de onde segue que

AQ² = - NC² + MD² + PB² = - 100 + 49 + 64 = 13.

Portanto, AQ = √13.

Observação: O resultado obtido mostra que, independentemente do raio do círculo, conhecendo-se três das quatro medidas AQ, BP, CN e DM, podemos determinar a que falta.

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Um tabuleiro preenchido com as letras A, B, C e D é bacana se essas quatro letras aparecem em qualquer quadriculado 2 × 2 do tabuleiro. Por exemplo, dos tabuleiros abaixo, o da esquerda é bacana e o da direita não é bacana.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Questões da OBMEP 2019 (2ª Fase) com Gabarito e Resolução