ITA 2020: Dizemos que um número natural n é um cubo perfeito se existe um número natural a tal que n = a³

ITA 2020: Dizemos que um número natural  n  é um  cubo perfeito  se existe um número natural a tal que  n = a³ . Determine o subconjunto dos...

ITA 2020: Dizemos que um número natural n é um cubo perfeito se existe um número natural a tal que n = a³. Determine o subconjunto dos números primos que podem ser escritos como soma de dois cubos perfeitos.

QUESTÃO ANTERIOR:
- ITA 2020: Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é informado de que a soma dos números observados na face superior de cada dado é igual a 9.

RESPOSTA:
Seja p um número primo tal que
p = a³ + b³, com a, b ∈ N,

Fatorando a³ + b³, temos:
p = (a + b) (a² – ab + b²)

Como p é primo, temos as seguintes possibilidades:
1º) (a + b) = 1, como a, b ∈ N, o único caso possível seria (a = 1 e b = 0) ou vice-versa, o que não é possível pois p = 1³ + 0³ = 1, e 1 não é primo.

2º) (a² – ab + b²) = 1
(a – b)² + ab = 1
com a – b ∈ N e ab ∈ N

Do caso anterior, temos:
(a – b) = 0 e ab = 1 ⇒ a = 1 e b = 1 ou a – b = 1
e ab = 0; o que não é possível pois um dos valores é negativo.
Portanto, o único número primo que satisfaz as condições é o número 2, pois 2 = 1³ + 1³.

Resposta: {2}

PRÓXIMA QUESTÃO:
- ITA 2020: Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais k para os quais a reta y = kx intersecta a parábola y = x² + ax + b é igual a (–∞, 2] ∪ [6, +∞), determine os números a e b.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Prova ITA 2020 (2ª Fase) com Gabarito e Resoluções