ITA 2020: Considere o polinômio p(x) = x³ – mx² + x + 5 + n, sendo m, n números reais fixados

ITA 2020: Considere o polinômio p(x) = x³ – mx² + x + 5 + n, sendo m, n números reais fixados. Sabe-se que toda raiz z = a + bi, com a, b ∈ ...

ITA 2020: Considere o polinômio p(x) = x³ – mx² + x + 5 + n, sendo m, n números reais fixados. Sabe-se que toda raiz z = a + bi, com a, b ∈ R, da equação p(z) = O satisfaz a igualdade a = mb² + nb – 1. Então, a soma dos quadrados das raízes de p(z) = 0 é igual a

a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.

QUESTÃO ANTERIOR:
- ITA 2020: Seja a um número real satisfazendo...

RESOLUÇÃO:
Como uma das raízes é real, então b = 0 para esta raiz e, a = – 1(raiz real).
As outras raízes são a + bi e a – bi com b ≠ 0, e, portanto,



Então mb² + nb – 1 = mb² – nb – 1 ⇒
⇒ 2nb = 0 ⇒ b = 0 ou n = 0 ⇒ n = 0

Se n = 0, como – 1 é raiz
(–1)³ – m(–1)² – 1 + 5 + 0 = 0 ⇒
⇒ – 1 – m – 1 + 5 = 0 ⇒ m = 3

Pelas relações de Girard:



Elevando a primeira equação ao quadrado:



GABARITO:
b) 7.

PRÓXIMA QUESTÃO:
- ITA 2020: A expansão decimal do número 100! = 100 . 99 … 2 . 1 possui muitos algarismos iguais a zero.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Prova ITA 2020 com Gabarito e Resoluções