UFSC 2020: Nos últimos meses, a imprensa tem veiculado várias reportagens a respeito do aumento do número

UFSC 2020: Nos últimos meses, a imprensa tem veiculado várias reportagens a respeito do aumento do número de focos de queimadas no Brasil. As notícias chegam à população em um clima alarmista e preocupante.

O Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) tem apresentado resultados de estudos a respeito do tema. O gráfico da Figura 1 mostra os números de focos de queimadas registrados de 1º a 31 de agosto em todo o país, no período de 2009 a 2019.

Figura 1: Número de focos de queimadas

Atenção: Nos itens que seguem, é obrigatória a apresentação correta dos cálculos para justificar as respostas. Resoluções sem justificativa correta não serão pontuadas.

a) Com base no gráfico acima, determine o percentual de aumento do número de focos de queimadas do ano de 2018 para o ano de 2019. Apresente seu resultado na forma percentual e não utilize arredondamentos.

Para responder aos próximos itens, considere a situação descrita a seguir:

Numa floresta, foi identificada uma situação de queimada em que o fogo se alastra, inicialmente, de forma exponencial. Com o combate realizado pelo corpo de bombeiros, o fogo foi controlado parcialmente por um período, de maneira a não expandir a área devastada. Porém, em função das condições climáticas, o fogo volta a se alastrar, dessa vez devastando a região de forma linear. Decorridas 𝑚 horas após o início do foco de incêndio, o fogo foi totalmente controlado. O gráfico da Figura 2 apresenta a evolução da área devastada em função do tempo.

Figura 2: Área devastada em função do tempo

b) Determine, em 𝑘𝑚², a área devastada pela queimada decorridas exatamente 4,6 ℎ de seu início.

c) Observou-se que, após cinco horas do início da queimada, a taxa de variação da área devastada, em 𝑘𝑚² por hora, é de

Determine, justificando matematicamente, o tempo gasto para controlar totalmente o fogo.

d) A Figura 3 é uma foto em perspectiva da região atingida pela queimada. A área do trapézio isósceles 𝐴𝐵𝐶𝐷 corresponde à área total devastada que está indicada na Figura 2. O lado 𝐴𝐷 e sua projeção sobre o lado 𝐴𝐵 medem, respectivamente, 2,5 𝑘𝑚 e 2 𝑘𝑚. Determine, justificando matematicamente, o perímetro, em 𝑘𝑚, da região devastada.

Figura 3: Área atingida pela queimada

Formulário:

QUESTÃO ANTERIOR:
- UFSC 2020: O Amerício-241, que emite partículas alfa, é usado em alarmes de fumaça. A radiação alfa ioniza o ar e isso permite que uma pequena corrente flua entre dois eletrodos.

RESOLUÇÃO:
a) O percentual de aumento do número de focos de queimadas do ano de 2018 para o ano de 2019 pode ser obtido por meio do quociente:

Como o número de focos de queimadas em 2018 foi de 22.800 e o número de focos de queimadas em 2019 foi de 51.984, pode-se escrever:

Contudo, para obter o percentual de aumento de número de focos de queimadas é necessário fazer:

2,28 − 1 = 1,28 = 128%

Portanto, o percentual de aumento de número de focos de queimadas do ano de 2018 para o ano de 2019 foi de 128%.

b) Inicialmente, é necessário encontrar o valor da função para 𝑥 = 4. Para tanto, toma-se a lei de formação da função 𝑓 no intervalo [0,4], ou seja, 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 2ˣ + 𝑏. Assim, é preciso encontrar os valores de 𝑎 e 𝑏. Com base no gráfico da função, tem-se que 𝑓(0) = 0 e 𝑓(2) = 1. Então,

Resolvendo o sistema, obtém-se

Segue que

para 𝑥 ∈ [0,4].

Então,

Como a função 𝑓 é constante para o intervalo ]4,5], pois 𝑓(𝑥) = 𝑘, 𝑠𝑒 4 < 𝑥 ≤ 5, tem-se que 𝑘 = 5.

Portanto, a área devastada decorridas 4,6 ℎ do início da queimada foi de 5 𝑘𝑚².

c) A lei de formação da função 𝑓 no intervalo ]5, 𝑚] é dada por 𝑓(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑥 + 𝑑, ou seja, trata-se de uma função afim. A taxa de variação nas últimas seis horas de queimada é

, isto é,

Com base no gráfico da função, temos que 𝑓(4) = 𝑓(5) = 5.

Então,

assim,

Segue que

no intervalo ]5, 𝑚]. Ocorre que o tempo gasto para controlar totalmente o fogo é indicado justamente pelo valor de 𝑚. Neste caso, por meio do gráfico da função tem-se que 𝑓(𝑚) = 9, ou seja,