(UEL 2020) Na exposição virtual “A Beleza da Matemática”, realizada no Museu do Amanhã

(UEL 2020) Na exposição virtual “A Beleza da Matemática”, realizada no Museu do Amanhã, o belo é celebrado como simetria matemática, como ex...

(UEL 2020) Na exposição virtual “A Beleza da Matemática”, realizada no Museu do Amanhã, o belo é celebrado como simetria matemática, como exemplificado na imagem a seguir.

No plano cartesiano, dois pontos distintos P e Q são simétricos em relação a uma reta r se as seguintes condições forem simultaneamente atendidas:

i) a distância de P a r é igual à distância de Q a r
ii) a reta que contém P e Q é perpendicular à reta r

Suponha que, no plano que contém a imagem da borboleta, o eixo de simetria r seja dado pela equação de reta y + x = 2.

Se P = (−2, 0) é um ponto desse plano, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o ponto simétrico a P em relação à reta r.

a) (0,2)
b) (2,0)
c) (2,2)
d) (2,4)
e) (4,2)

QUESTÃO ANTERIOR:
- (UEL 2020) Um grupo de turistas, saindo de São Paulo, inicia uma viagem para conhecer três grandes museus: Museu do Vaticano (Roma), Museu de História Natural (Nova Iorque) e Museu do Amanhã (Rio de Janeiro).

Conteúdo programático:
Geometria Analítica: Coordenadas cartesianas na reta e no plano. Equação da reta. Distância do ponto à reta.

RESOLUÇÃO:
Seja Q o ponto simétrico a P = (−2, 0) com respeito ao eixo de simetria r, que é dado por y + x = 2.

Note que, por (i), a distância de P a r é igual à distância de Q a r. Inicialmente calculemos a distância de P a r.

Para este fim, observe que a reta perpendicular ao eixo de simetria r, e que passa pelo ponto P, é dada pela reta s de equação y = x+2.

A intersecção de r com s é o ponto O = (0, 2). Com isso, a distância de O a P é 2 √2 que é, exatamente, a distância do ponto P à reta r. Note que, por (ii), a reta que contém P e Q é perpendicular à reta r.

Em outras palavras: Q pertence à reta s, que é perpendicular à r e contém P. Para este fim, seja Q = (x, x+2) um ponto da reta s. De forma a atender a (i), precisamos determinar x de modo que o ponto Q diste 2√2 do ponto O.

Com isso, obtemos a equação, que admite conjunto solução x = 2 e x = −2. Note que x = −2 não convém, uma vez que P e Q são distintos. Consequentemente, o ponto Q = (2, 4) é o ponto solicitado.

GABARITO:
d) (2,4)

PRÓXIMA QUESTÃO:
- (UEL 2020) Uma característica fundamental do plano corpóreo de um animal é sua forma geral e um aspecto básico dessa forma é a simetria.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Prova UEL 2020 (1ª e 2ª Fases) com Gabarito e Resolução