FUVEST 2021: Considere a função f: R → R dada por

FUVEST 2021: Considere a função f: R → R dada por

FUVEST 2021: Considere a função f: R → R dada por

f(x) = p + q cos(rx − s), em que p, q, r e s são números reais e o cosseno é calculado sobre valores em radianos.

a) Qual é o valor máximo de f para o caso em que p = q = r = s = 1?

b) Quais são os valores do período e da amplitude de f, para o caso em que p = −1, q = 2, r = π e s = 0?

c) Determine valores de p, q, r e s no caso em que o gráfico de f é igual ao mostrado na figura a seguir.

Note e adote:

A amplitude de uma função é a diferença entre seus valores máximo e mínimo.

O gráfico apresentado refere-se somente ao item (c).

QUESTÃO ANTERIOR:

- FUVEST 2021: O perímetro de uma figura plana é o comprimento de seu contorno. O diâmetro de uma figura plana é a maior distância entre dois pontos do contorno dessa figura.

RESOLUÇÃO (Cursos Objetivo):

a) f(x) = p + q . cos (rx – s)

Para o caso em que p = q = r = s = 1 temos:

f(x) = 1 + cos(x – 1)

– 1 ≤ cos(x – 1) ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1 + cos(x – 1) ≤ 2 ⇔ 0 ≤ f(x) ≤ 2

Neste caso, o valor máximo de f é 2.

b) Para o caso de p = – 1, q = 2, r = π e s = 0, temos:

f(x) = – 1 + 2 . cos (π x)

1) Período = 

2) – 1 ≤ cos (π x) ≤ 1 ⇔ – 2 ≤ 2 . cos (π x) ≤ 2 ⇔

⇔ – 3 ≤ – 1 + 2 . cos (π x) ≤ 1 ⇔

⇔ – 3 ≤ f(x) ≤ 1

Neste caso, a amplitude é 1 – (– 3) = 4.

c)

Sendo f(x) = p + q . cos (rx – s), temos:

1) Período = 4

2)  pois o gráfico está deslocado meia unidade para cima.

3) O gráfico tem amplitude 5, portanto 

4) O gráfico está deslocado  unidade para a direita, portanto:

Portanto, 

Observação:

Caso a questão pedisse todos os valores de p; q; r e s teríamos:

1) Período = 4

2)  pois o gráfico está deslocado meia unidade para cima.

3) O gráfico tem amplitude 5, portanto 

4) Se   então

GABARITO:

PRÓXIMA QUESTÃO:

- FUVEST 2021: Um plano de inclinação situa-se sobre uma mesa horizontal de altura 4h, conforme indicado na figura.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Prova FUVEST 2021 - 2ª fase (1º e 2º Dia) - com Gabarito e Resolução

REDAÇÃO.