Seja b ∈ R tal que a equação x² – 6bx – (1 – b²)(y² – 2by) + b⁴ + 8b² – 1 = 0 determina uma hipérbole

ITA 2022 - QUESTÃO 48

Seja b ∈ R tal que a equação x² – 6bx – (1 – b²)(y² – 2by) + b⁴ + 8b² – 1 = 0 determina uma hipérbole.

Com respeito ao centro C desta hipérbole podemos afirmar:

a) C ∈ {(x, y) ∈ R² / x2/9 + y²/12 < 1}.

b) C ∈ {(x, y) ∈ R² / x2/4 + y²/ 2 > l}.

c) C ∈ {(x, y) ∈ R² / x2/9 – y²/2 < 1}.

d) C ∈ {(z, y) ∈ R² / 3x2– 2y²> 1}.

e) Nenhuma das alternativas anteriores.

QUESTÃO ANTERIOR:

- Sejam x, r ∈ R e suponha que –π/2 < x – r ≤ x + r < π/2.

RESOLUÇÃO (Cursos Objetivo):

À partir da equação da hipérbole dada x² – 6bx – (1 – b²) . (y² – 2by) + b⁴ + 8b² – 1 = 0 e completando os quadrados perfeitos para x² – 6bx e y² – 2by segue que:

(x² – 3b)² – (1 – b²) . (y – b)² + 8b² + b⁴ – 1 – 9b² – b⁴ = 0

Para se ter uma hipérbole 1 – b² > 0, ou seja, b² < 1.

Nestas condições, tem-se que o centro da hipérbole é da forma (3b, b) onde b² < 1.

Desta forma; por substituição das coordenadas do centro, nas inequações das regiões indicadas, a única que torna valida a condição b² < 1 e a inequação