Por volta de 1845, o matemático belga Pierre Verhulst começou a estudar um tipo de função que hoje é conhecida como função logística

UNICAMP 2022 (2ª fase) - QUESTÃO 08 Por volta de 1845, o matemático belga Pierre Verhulst começou a estudar um tipo de função que hoje é con...

UNICAMP 2022 (2ª fase) - QUESTÃO 08

Por volta de 1845, o matemático belga Pierre Verhulst começou a estudar um tipo de função que hoje é conhecida como função logística. Originalmente utilizada para modelar problemas envolvendo crescimento populacional, atualmente tem muitas outras aplicações em ecologia, biomatemática, sociologia e ciências políticas. Uma função logística pode ser definida por

em que 𝑘 > 0, 𝐿 > 0 e 𝑥0 ∈ ℝ.

a) Seja 𝑓⁻¹ a função inversa de 𝑓. Determine a expressão e o domínio de 𝑓⁻¹.

b) O gráfico abaixo é de uma função logística com 𝐿 = 10. Determine os valores de 𝑥0 e 𝑘.

QUESTÃO ANTERIOR:

- Heloísa está brincando com uma urna que contém dez bolinhas, sendo três azuis, três verdes e quatro rosas.

RESOLUÇÃO (Cursos Objetivo):

a) Dada a função  obtendo sua inversa, temos:

Trocando as variáveis, temos:

e assim, tem-se

O domínio de f⁻¹ são os valores que satisfazem a condição de existência do logaritmo. Assim, temos:

Resolvendo a inequação, temos:

b) Pelo gráfico da função f, temos os seguintes pontos: (0; 2) e (4; 8). Assim, f⁻¹(2) = 0 e f⁻¹(8) = 4. Substituindo na função inversa, temos:

Substituindo (I) em (II), temos:

2 – (– 2) = 4k ⇔ k = 1

Em (I), temos: 1 . x0 = 2 ⇔ x0 = 2

GABARITO:

b) k = 1 e x0 = 2

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Seja 𝑎 um número real e considere o polinômio 𝑓(x) = x³ + (α + 1)x² + (α + 2)x + 2, que tem 𝑥 = -1 como uma de suas raízes.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Prova UNICAMP 2022 (2ª fase) com Resolução