Seja 𝑎 um número real e considere o polinômio 𝑓(x) = x³ + (α + 1)x² + (α + 2)x + 2, que tem 𝑥 = -1 como uma de suas raízes

UNICAMP 2022 (2ª fase) - QUESTÃO 09 Seja 𝑎 um número real e considere o polinômio 𝑓(x) = x³ + (α + 1)x² + (α + 2)x + 2, que tem 𝑥 = -1 co...

UNICAMP 2022 (2ª fase) - QUESTÃO 09

Seja 𝑎 um número real e considere o polinômio 𝑓(x) = x³ + (α + 1)x² + (α + 2)x + 2, que tem 𝑥 = -1 como uma de suas raízes.

a) Determine todos os valores de 𝑎 tais que 𝑥 = -1 é a única raiz real. 

b) Determine todos os valores de 𝑎 tais que as soluções de 𝑓(x) = 0 sejam números inteiros.

QUESTÃO ANTERIOR:

- Por volta de 1845, o matemático belga Pierre Verhulst começou a estudar um tipo de função que hoje é conhecida como função logística.

RESOLUÇÃO (Cursos Objetivo):

O polinômio f(x) é divisível por x + 1, e assim f(x) = (x + 1)(x² + ax + 2), a partir da divisão a seguir

a) Para que x = – 1 seja a única raiz real, devemos ter a² – 4 . 1 . 2 < 0 ⇔ a² – 8 < 0 ⇔

⇔ – 2√2 < a < 2√2, onde o gráfico de f(a) = a² – 8 é do tipo

b) O conjunto solução de 

x³ + (a + 1)x² + (a + 2)x + 2 = 0 é {–1; x2; x3} e a

partir das relações de Girard, tem-se

Se todas as raízes de f(x) são inteiras, então 

–a = 1 + 2 ou – a = –1 –2 ⇔ a = – 3 ou a = 3. 

GABARITO:

a) – 2√2 < a < 2√2

b) – 3 ou 3

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Seja 𝐾 a região poligonal, no plano cartesiano, dos pontos (𝑥, 𝑦) que satisfazem as inequações

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Prova UNICAMP 2022 (2ª fase) com Resolução