Algumas joaninhas grandes e pequenas estão fazendo uma festa. Joaninhas pequenas têm 5 pintas e

Algumas joaninhas grandes e pequenas estão fazendo uma festa. Joaninhas pequenas têm 5 pintas e

OBMEP 2021 - QUESTÃO 14

Algumas joaninhas grandes e pequenas estão fazendo uma festa. Joaninhas pequenas têm 5 pintas e joaninhas grandes têm 6 pintas.

Se o total de pintas na festa é 43, podemos dizer que nessa festa há exatamente:

A) 6 joaninhas.

B) 7 joaninhas.

C) 8 joaninhas.

D) 9 joaninhas.

E) 10 joaninhas.

QUESTÃO ANTERIOR:

- Samuel numerou de 1 a 6 as faces de um cubo. Depois, ele verificou que a soma dos números em um par

RESOLUÇÃO:

Vamos supor que nenhuma joaninha grande esteja na festa; como 43 não é múltiplo de 5, isso é impossível.

Vamos supor então que somente uma joaninha grande esteja na festa; como 43 – 6 = 37 não é múltiplo de 5, isso também é impossível.

Analogamente, se duas joaninhas grandes estivessem presentes, como 43 – 12 = 31 não é múltiplo de 5, novamente teríamos uma situação impossível.

Agora, se na festa há 3 joaninhas grandes, como 43 – 18 = 25, teremos uma situação possível. 

De fato, na festa estão presentes 3 joaninhas grandes e 5 joaninhas pequenas, e o número total de pintas é 3 x 6 + 5 x 5 = 18 + 25 = 43. Como veremos ao final, essa é a única possibilidade e, portanto, na festa estão presentes 3 + 5 = 8 joaninhas. 

É impossível que na festa estejam 4 joaninhas grandes, pois 43 – 24 = 19 não é múltiplo de 5. É impossível que estejam na festa 5 joaninhas grandes, porque 43 – 30 = 13 não é múltiplo de 5. De modo análogo, podemos concluir que na festa não pode haver 6 ou 7 joaninhas grandes. Finalmente, se 8 ou mais joaninhas grandes estivessem presentes, o número de pintas ultrapassaria 43.

GABARITO:

C) 8 joaninhas.

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Paulinha quer recortar a figura abaixo, fazer as dobras e depois as colagens para obter um cubo.

 

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas OBMEP 2021 com Gabarito e Resolução