Em cada uma das dez posições marcadas com as letras de A a J na figura abaixo, é colocada uma

Em cada uma das dez posições marcadas com as letras de A a J na figura abaixo, é colocada uma

OBMEP 2021 - QUESTÃO 06

Em cada uma das dez posições marcadas com as letras de A a J na figura abaixo, é colocada uma moeda. Inicialmente, todas as dez moedas são colocadas com a face coroa voltada para cima e um ponteiro aponta para a posição A. Esse ponteiro começa a se movimentar no sentido anti-horário, saltando de uma posição para a outra mais próxima.

Após cada salto,

• se o ponteiro apontar para uma moeda com a face cara para cima, nada acontece;

• se o ponteiro apontar para uma moeda com a face coroa para cima, deve-se, então, virar a moeda seguinte.

Por exemplo, após o primeiro salto, o ponteiro aponta para a posição B (coroa) e a moeda na posição C é virada, ficando com a face cara para cima.

a) Como ficarão as moedas nas posições C e D logo após o segundo salto do ponteiro?

b) Em quais posições as moedas ficarão com as faces coroa para cima após o décimo segundo salto?

c) Explique por que nunca todas as moedas ficarão com a face cara voltada para cima.

d) Explique por que todas as moedas ficarão novamente com a face coroa voltada para cima após algum salto futuro do ponteiro.

QUESTÃO ANTERIOR:

- Na figura, as circunferências de raios a e b, centradas em O e O’, são tangentes aos lados do ângulo em

RESOLUÇÃO:

Vamos denotar por X uma moeda com a face cara para cima e Y a com a face coroa. Além disso, vamos representar uma certa configuração das moedas por uma lista de letras consecutivas, em que cada uma é X ou Y, começando pela primeira moeda após o ponteiro no sentido anti-horário e terminando sempre com a moeda para a qual o ponteiro está apontando no momento.

Item A

Podemos exibir explicitamente as mudanças de moedas a partir do início, da seguinte forma.

Como o ponteiro estará apontando para a posição C, podemos concluir que, em D, teremos uma moeda com a coroa virada para cima (letra Y) e, em C, uma moeda com a cara (letra X).

Item B

Podemos exibir explicitamente as primeiras 9 operações, da seguinte forma.

Assim, teremos moedas alternadas e o ponteiro apontará para a posição J. Os próximos três movimentos são os seguintes.

No final desse processo, o ponteiro apontará para a letra C (pois ele dará uma volta completa e avançará mais duas posições) e, assim, podemos concluir que estarão com a face cara para cima as moedas nas posições A, D, E, G e I. Logo, nas posições B, C, F, H e J, as moedas têm a face coroa voltada para cima.

Item C

Perceba que a operação do ponteiro é reversível, ou seja, dada qualquer configuração das moedas, existe apenas uma configuração imediatamente anterior que a produziu através do movimento do ponteiro. Assim, se, em um dado momento, todas as moedas estão com a face cara virada para cima, então, na posição imediatamente anterior, todas também estavam com a face cara virada para cima. Retrocedendo essa operação até o início, deveríamos concluir que todas estavam com a face cara para cima desde o princípio. Como isso é um absurdo, é impossível que em algum momento todas fiquem com a cara virada para cima.

Item D

O número de disposições de 10 moedas cara e coroa é finita, bem como o número de possíveis posições do ponteiro. Assim, o número de configurações das sequências associadas ao ponteiro é finito e, eventualmente, após alguma interação futura, deverá se repetir. Digamos que, após o ponteiro se mover i e j vezes, com i < j, as configurações são exatamente as mesmas. Como a operação é reversível, as configurações após i 1 e j 1 movimentos também são idênticas. Repetindo esse argumento i vezes, podemos concluir que as configurações após ii = 0 e j i movimentos do ponteiro são idênticas. Ou seja, após j i interações do ponteiro, a configuração resultante será a mesma do início e todas as moedas estarão com a face coroa virada para cima.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas OBMEP 2021 com Gabarito e Resolução