Na figura, as circunferências de raios a e b, centradas em O e O’, são tangentes aos lados do ângulo em

Na figura, as circunferências de raios a e b, centradas em O e O’, são tangentes aos lados do ângulo em

OBMEP 2021 - QUESTÃO 05

Na figura, as circunferências de raios a e b, centradas em O e O’, são tangentes aos lados do ângulo em S e T e em S’ e T’, respectivamente. Elas também tangenciam os lados AB e AC de um triângulo ABC, em que A pertence a TT’ e BC está contido em SS’. Esse triângulo ABC tem altura h relativa à base BC.

a) Calcule o perímetro do triângulo ABC quando SS’ = 10.

b) Denote as áreas dos triângulos ABC, ABO e ACO’ por A1, A2 e A3, respectivamente. Explique por que a área do hexágono OSS’O’T’T é dada por A1 + 2A2 + 2A3.

c) Mostre que a área do triângulo ABC é 

d) Mostre que, se AB = AC, então h = a + b.

QUESTÃO ANTERIOR:

- Uma lata medindo 20 cm × 10 cm × 10 cm, sem tampa, é sustentada por um suporte, de modo que uma

RESOLUÇÃO:

Utilizaremos na solução desse problema o teorema das tangentes, que estabelece que, se duas tangentes são traçadas de um mesmo ponto a uma mesma circunferência, então, os segmentos que unem este ponto até os pontos de tangência são iguais.

Item A

Queremos calcular o perímetro do triângulo ABC quando SS’ = 10.

Somando as equações 1 e 2, obtemos

(BM + AM) + BC + (CN + AN) = 2 SS’ = 20 AB + BC + AC = 2 SS’ = 20.

Assim, o perímetro do triângulo ABC é igual a 20.

Item B

Denote as áreas dos triângulos ABC, ABO e ACO’ por A1, A2 e A3, respectivamente.

Vamos mostrar que a área do hexágono OSS’O’T’T é A1 + 2A2 + 2A3.

Observemos a figura ao lado.

Logo,

Item C

Vamos mostrar agora que a área do triângulo ABC é

OSS’O’ é um trapézio de bases a e b e altura SS’ (do item A,SS’ = 

Por outro lado, área OSS’O’ é igual à metade da área do hexágono OSS’O’T’T; portanto, usando o resultado encontrado no item B,

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Em cada uma das dez posições marcadas com as letras de A a J na figura abaixo, é colocada uma moeda. Inicialmente, todas as dez moedas são colocadas com a face coroa voltada para cima e um 

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas OBMEP 2021 com Gabarito e Resolução