Janaína desenha quadrados formados por quadrados menores, cujos lados têm medidas inteiras.

OBMEP 2021 - QUESTÃO 03

Janaína desenha quadrados formados por quadrados menores, cujos lados têm medidas inteiras. Por exemplo, a figura mostra como Janaína desenhou um quadrado de lado 4 formado por dez quadrados, sendo dois de lado 2 e oito de lado 1.

a) Mostre como Janaína pode desenhar um quadrado de lado 3 formado com a menor quantidade possível de quadrados menores com lados de medidas inteiras.

b) Janaína quer desenhar um quadrado grande formado por um quadrado de lado 3, alguns quadrados de lado 2 e a menor quantidade possível de quadrados de lado 1. Mostre, no quadriculado ao lado, como Janaína pode fazer esse desenho.

c) Janaína quer desenhar um quadrado de menor lado possível formado por 13 quadrados de lado 1 e por outros quadrados maiores com lados de medidas inteiras. Mostre, no quadriculado ao lado, como Janaína pode fazer esse desenho.

QUESTÃO ANTERIOR:

- Em uma fila há 100 pessoas. A primeira e a terceira posições da fila são ocupadas por homens

RESOLUÇÃO:

Item A

Para que a quantidade de quadrados usados para formar o quadrado de lado 3 seja a menor possível, Janaína deve usar os maiores quadrados possíveis. No caso, ela pode usar somente um quadrado de lado 2, porque, se usar mais um, o quadrado terá que ter lado 4, pelo menos. Ao usar um quadrado de lado 2, o restante deverá ser completado por 9 – 4 = 5 quadrados unitários, conforme a primeira figura abaixo. Há mais outras três posições possíveis para essa figura, basta girar a primeira figura abaixo ou, equivalentemente, deslocar o quadrado de lado 2 para os outros cantos do quadrado de lado 3.

Item B

Se Janaína quer usar um quadrado de lado 3 e quadrados de lado 2 para formar o quadrado grande, então, este deverá ter lado de medida 5, pelo menos. Um quadrado de lado 5 corresponde a 25 quadrados unitários. Se, na sua composição, há um quadrado de lado 3, restam 25 – 9 = 16 quadrados unitários. Cada quadrado de lado 2 corresponde a 4 quadrados unitários. Em princípio, ela poderia usar quatro quadrados de lado 2, mas essa configuração não é possível, como pode ser visto com o teste de todas as possibilidades de encaixe. Entretanto, é possível usar três quadrados de lado 2, restando completar com quatro quadrados unitários, que é o número mínimo procurado. Vemos ao lado dois tipos diferentes de figuras que Janaína pode desenhar. Ela pode, como no item anterior, girar essas figuras, fazendo outros desenhos.

Item C

O menor quadrado contendo 13 quadrados unitários é o quadrado de lado 4. Mas, como 16 – 13 = 3, esse quadrado não serve ao propósito de Janaína, porque, para preencher o espaço de 3 quadrados unitários, ela só pode usar 3 quadrados unitários, e, daí, o total deles seria 16, contrariando o enunciado. No quadrado de lado 5, temos 25 – 13 = 12, o que corresponde a três quadrados de lado 2. De fato, Janaína pode desenhar o quadrado de lado 5, o menor possível, com três quadrados de lado 2 e 13 quadrados unitários de várias maneiras diferentes, quatro das quais exemplificadas ao lado. Note que não é possível usar um quadrado de lado 3 para ocupar o espaço de 12 quadrados unitários, pois o espaço restante (12 – 9 = 3) só poderia ser ocupado com quadrados unitários, aumentando seu número de 13 para 16.