A figura abaixo é formada por dois quadrados parcialmente sobrepostos. A interseção desses quadrados, com contorno preto

OBMEP 2022 - QUESTÃO 19 A figura abaixo é formada por dois quadrados parcialmente sobrepostos. A interseção desses quadrados, com contorno p...

OBMEP 2022 - QUESTÃO 19

A figura abaixo é formada por dois quadrados parcialmente sobrepostos. A interseção desses quadrados, com contorno preto, tem área 18 cm² e perímetro 20 cm. A união desses quadrados, com contorno vermelho, tem área 163 cm? e perímetro 56 cm.

Qual é, em cm², a diferença entre as áreas dos dois quadrados?

(A) 1

(B) 4

(C) 10

(D) 15

(E) 19

QUESTÃO ANTERIOR:

- Ivan e Luciana, nascidos antes de 2000, travaram o seguinte diálogo em 2019, depois de seus aniversários:

GABARITO:

(E) 19

RESOLUÇÃO:

Na figura abaixo, m e n são os comprimentos dos lados dos quadrados e x, y, z e w os comprimentos dos segmentos determinados pelas interseções entre eles.

Como o perímetro da figura inteira (contorno vermelho) é 56 e o da interseção (contorno preto) é 20, temos (4m — z — w) + (4n = x — y) = 56 e 4(m+n) = 56 + (x + y + z + w) = 76, ou seja, m + n = 19.

Dado que a área da interseção é 18, temos m² + n² — 18 = 163, ou seja, m² + n² = 181. Daí, 2mn = (m + n)² — (m² + n²) = 19² - 181 = 180. A partir de 90 = mn = m(19 — m), podemos concluir que m é uma das raízes da equação do segundo grau mº — 19m + 90 = O, que são 10 e 9.

Consequentemente, n = 19 - m = 9 ou 10. Finamente, a diferença entre as áreas dos quadrados é 10º — 9º = 19.

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Qual é o algarismo das unidades do menor inteiro positivo par cuja soma dos seus algarismos é igual a 2026?

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas OBMEP 2022 com Gabarito e Resolução