Qual é o algarismo das unidades do menor inteiro positivo par cuja soma dos seus algarismos é igual a 2026?

OBMEP 2022 - QUESTÃO 20 Qual é o algarismo das unidades do menor inteiro positivo par cuja soma dos seus algarismos é igual a 2026? (A) 0 (B...

OBMEP 2022 - QUESTÃO 20

Qual é o algarismo das unidades do menor inteiro positivo par cuja soma dos seus algarismos é igual a 2026?

(A) 0

(B) 2

(C) 4

(D) 6

(E) 8

QUESTÃO ANTERIOR:

- A figura abaixo é formada por dois quadrados parcialmente sobrepostos. A interseção desses quadrados, com contorno preto, tem área 18 cm² e perímetro 20 cm. A união desses quadrados, com contorno vermelho, tem área 163 cm? e perímetro 56 cm.

GABARITO:

(E) 8

RESOLUÇÃO:

Para facilitar a exposição, vamos chamar números pares positivos com soma de algarismos igual a 2026 de números legais. Observamos primeiro que números legais existem: por exemplo, o número que se escreve como 2026 algarismos 1 seguidos do algarismo O nas unidades; logo, existe o menor número legal, que é o que estamos procurando.

Seja n o número de algarismos de um número legal. A maior soma possível dos algarismos de um número de n algarismos é 9n; logo, 9n ≥ 2026, ou seja,

Em outras palavras, qualquer número legal tem pelo menos 226 algarismos. Observamos que números legais com exatamente 226 algarismos existem; por exemplo, 2 seguido de 224 algarismos 9 seguido de 8 é legal. Logo, o menor número legal tem 226 algarismos.

Como 2026 = 225 x 9 + 1, vemos que o primeiro algarismo à esquerda de um número legal com 226 algarismos não pode ser 1, pois, nesse caso, todos seus outros algarismos seriam 9 e ele seria ímpar. O exemplo já citado

nos mostra, por outro lado, que existem números legais com 226 algarismos que têm 2 como seu primeiro algarismo à esquerda. Observamos agora que qualquer número dessa forma é escrito com mais 224 algarismos 9 e um algarismo 8; de fato, se esse número tivesse no máximo 223 algarismos 9, a soma de seus algarismos não poderia exceder 223 x 9+2+8+8=2025, Assim, o menor número par que podemos escrever com essas condições é 2 seguido de 224 algarismos 9 seguido de 8 na casa das unidades, que é, então, o menor número legal, ou seja, é o exemplo anterior.

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Henrique pensou em um número, multiplicou por 3, somou 3, dividiu por 3, subtraiu 3, calculou a raiz cúbica e obteve 3 como resultado final. Qual é a soma dos algarismos do número em que Henrique pensou?

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas OBMEP 2022 com Gabarito e Resolução