Júlia escreveu os números 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8 e 9 em um tabuleiro 3 x 3, sem repetições

OBMEP 2022 - QUESTÃO 06

Júlia escreveu os números 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8 e 9 em um tabuleiro 3 x 3, sem repetições, e observou que a soma dos números em cada um dos seus quatro subtabuleiros 2 x 2 era igual a 20.

Os números 7 e 5 foram escritos como na figura abaixo. Qual é o número que foi escrito na casa destacada na cor cinza?

(A) 1

(B) 3

(D) 8

(6) 9

QUESTÃO ANTERIOR:

- Morgana escolheu seis números inteiros positivos e diferentes entre si, cuja soma é 2020. Qual é o maior número que pode aparecer dentre os números escolhidos?

GABARITO:

(B) 3

RESOLUÇÃO:

Considere as letras A, B, C, D, E, F e X representando os valores desconhecidos da tabela.

- No tabuleiro 2 x 2 superior esquerdo, temos que 7 + A + C + 5 = 20. Logo, A + C = 8. Assim, as possibilidades são (A= 1, C =7), (A=2,C=6),(A=3,C=5),(A=4,C =4) e os casos simétricos. Porém, os casos (A= 1, C =7), (A=3,C =5) e (A=4, C =4) são descartados, pois não é permitido repetir números na tabela. Assim, A e C são 2 e 6 em alguma ordem.

Em qualquer caso A + C = 8.

- Somando-se todos os elementos dos subtabuleiros superiores com os elementos do subtabuleiro inferior esquerdo, temos:

(7+A+5+C)+(A+B+5+D)+(C+5+E+F)=20+20+20=60.

Logo, 22 + 2(A +C) + B+ D+E + F =60, ou seja, B+ D+ E +F =22.

- Vejaqueasoma de todos os elementos do tabuleiro é igual a 1 +2+3+...+9=45. Poroutro lado, asoma de todos elementos, exceto Xé: (7 +5)+(A+C)+(B+D+E+F)=12+8+22=42.

Logo, o número que ocupa o quadrado cinza é 4542 =3

- Observe o preenchimento: