Uma folha de papel retangular ABCD, de 10 cm por 20 cm, tem uma face colorida e o verso branco.

OBMEP 2022 - QUESTÃO 07

Uma folha de papel retangular ABCD, de 10 cm por 20 cm, tem uma face colorida e o verso branco. Foram feitas duas dobras nessa folha, levando-se os pontos A e C sobre a diagonal BD, de modo que s dobras ficaram paralelas a essa diagonal, como mostrado na figura abaixo.

Qual é a área da região colorida que fica visível após as dobras?

(A) 25 cm²

(B) 50 cm²

(D) 100 cm²

(E) 125 cm²

QUESTÃO ANTERIOR:

- Júlia escreveu os números 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8 e 9 em um tabuleiro 3 x 3, sem repetições, e observou que a soma dos números em cada um dos seus quatro subtabuleiros 2 x 2 era igual a 20.

GABARITO:

(D) 100 cm²

RESOLUÇÃO:

Solução sem usar semelhança de triângulos:

Ao dobrar a folha, o vértice A do quadrado coincide com o ponto A' da diagonal. Como a reta MN é a mediatriz do segmento AA”, temos AS = SA' e AA' perpendicular a MN. Como MN é paralela à diagonal BD, o segmento MR paralelo a AA' é também perpendicular a BD. Temos, dessa forma, dois triângulos retângulos congruentes ASM e MRD, pelo caso ALA de congruência de triângulos. Logo, AM = MD = 5. De forma análoga, concluímos que os triângulos retângulos ANS e NBT são congruentes, logo AN = NB = 10.

A área dos triângulos congruentes AMN e AMN é igual a

Dada a simetria de 180º da figura, concluímos que a área dos triângulos CPQ e C'PQ também é 25. Consequentemente, a área da região colorida visível é igual à área da folha menos quatro vezes a área do triângulo AMN, ou seja, igual a 10 x 20 — 4 x 25 = 200 — 100 = 100 cm?.

Solução usando semelhança de triângulos:

Como MN é paralela a BD, concluímos que os triângulos AMN e ADB são semelhantes, de alturas homólogas AS e AA'. Pela dobra temos AA'= 2AS, logo a área do triângulo ABD é 4 vezes a área do triângulo AMN. Como a área do triângulo ADB é metade da área da folha, isto é, 100 cm², a área do triângulo AMN é 25 cm². Novamente, a Área da região colorida visível é igual à área da folha menos quatro vezes a área do triângulo AMN, ou seja, igual a 10 x 20 — 4 x 25 = 200 — 100 = 100 cm².

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Uma prova é formada por 45 questões de múltipla escolha. Cada resposta correta vale 1 ponto e para cada resposta errada desconta-se 0,25 ponto; questões não respondidas não são pontuadas.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas OBMEP 2022 com Gabarito e Resolução