Na expansão de [1 + x² – x³ + x⁴]¹⁰, a soma de todos os coeficientes das potências múltiplas de 3 é

ITA 2023 - QUESTÃO 48 Na expansão de [1 + x² – x³ + x⁴]¹⁰, a soma de todos os coeficientes das potências múltiplas de 3 é a) 114. b) 228. c)...

ITA 2023 - QUESTÃO 48

Na expansão de [1 + x² – x³ + x⁴]¹⁰, a soma de todos os coeficientes das potências múltiplas de 3 é

a) 114.

b) 228.

c) 342.

d) 456.

e) 570.

QUESTÃO ANTERIOR:

- Considere a função real

definida no intervalo I = ]4π, 4π[. Sobre a equação f(x) = 0, podemos afirmar que

GABARITO:

c) 342.

RESOLUÇÃO:

Resolução

1) Seja P(x) = (x⁴ – x³ + x² + 1)¹⁰ com grau 40 e pode ser escrito da seguinte forma:

P(x) = a40 . x⁴⁰ + a39 . x³⁹ + … + a2 . x² + a1 . x¹ + a0

Se quiséssemos a soma dos coeficientes pares (ou dos ímpares), uma das maneiras seria utilizar as raízes quadradas da unidade. Assim, temos:

P(1) = a40 . 1⁴⁰ + a39 + 1³⁹ + … + a2 . 1² + a1 . 1¹ + a0

= [1¹ – 1³ + 1² + 1]¹⁰ = 2¹⁰

P(–1) = a40(–1)⁴⁰ + a39(–1)³⁹ + … +

+ a2(–1)² + a1(–1) + a0 =

= [(–1)⁴ – (–1)³ + (–1)² + 1]¹⁰ = 4¹⁰

2) Somando membro a membro, temos:

P(1) + P(–1) = 2 . a40 + 2a38 + … + 2a2 + 2a0 = 2¹⁰ + 4¹⁰

a40 + a38 + … + a2 + a0 = 

3) Como o exercício pede a soma dos coeficientes das potências múltiplas de 3, podemos de maneira análoga, utilizar as raízes cúbicas da unidade.

Assim, temos:

x³ = 1 ⇔

⇔ x³ – 1 = 0 ⇔

⇔ (x – 1) . (x² + x + 1) = 0 ⇔

⇔ x – 1 = 0 ou x² + x + 1 = 0 ⇔

⇔ x = 1 ou x² + x + 1 = 0

4) Da radiciação em C, temos que as 3 raízes cúbicas da unidade podem ser escritas da seguinte forma:

z1 = 1 . (cos 0° + i sen 0°) = 1

Com 1 + k + k² = 0 e k³ = 1

5) Substituindo em os valores, temos:

P(1) = a40 . 1⁴⁰ + a39 . 1³⁹ + a38 . 1³⁸ + … +

+ a2 . 1² + a1 . 1 + a0 = (1⁴ – 1³ + 1² + 1)¹⁰ = 2¹⁰ (I)

6) P(k) = a40 . k⁴⁰ + a39 . k³⁹ + a38 . k³⁸ + … +

+ a2 . k² + a1 . k + a0 = (k⁴ – k³ + k² + 1)¹⁰

7) Como k³ = 1 e k² + k + 1 = 0, podemos reescrever da seguinte forma:

k³ = 1, k⁴ = k¹, k⁵ = k², k⁶ = k³ = 1

Assim, temos:

com q ∈ N.

8) Substituindo em P(k), temos:

P(k) = a40 . k¹ + a39 . 1 + a38 . k² + … +

+ a2 . k² + a1 . k + a0 = (k – 1 + k² + 1)¹⁰ = (– 1)¹⁰ (II)

9) Repetindo o processo em P(k²), temos:

P(k²) = a40 . k⁸⁰ + a39 . k⁷⁸ + a38 . k⁷⁶ + … +

+ a² . k⁴ + a1k³⁷+ a0 = (k⁸ – k⁶ + k⁴ + 1)¹⁰

10) P(k²) = a40 . k² + a39 . 1 + a38 . k¹ + … +

+ a² . k + a1 . k² + a0 = (k² – 1 + k + 1)¹⁰ = (–1)¹⁰ (III)

De (I), (II) e (III), temos:

a40 . 0 + 3 . a39 + a38 . 0 + … + a2 . 0 + a1 . 0 + 3 . a0 =

= 1024 + 1 + 1, pois 1 + k + k² = 0

11) 3 . a39 + 3a36 + … + 3 . a3 + 3a0 = 1026 ⇔

⇔ a39 + a36 + … + a3 + a0 = 342

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Em uma titulação, 100 mL de uma solução de um ácido monoprótico fraco, cuja constante de ionização é igual a 10⁻⁹, são neutralizados com 25 mL de uma solução 0,5 mol L⁻¹ de hidróxido de sódio.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Prova ITA 2023 (1ª Fase) com Gabarito