Em um decágono convexo, de quantas formas podemos escolher duas diagonais que não se interceptam?

Em um decágono convexo, de quantas formas podemos escolher duas diagonais que não se interceptam?

ITA 2023 - QUESTÃO 10

Em um decágono convexo, de quantas formas podemos escolher duas diagonais que não se interceptam?

QUESTÃO ANTERIOR:

- Um triângulo tem perímetro 20 o seus ângulos internos α, β e γ satisfazem a igualdade sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 2

GABARITO:

175

RESOLUÇÃO:

Dado o decágono da figura acima, vamos contar os pares de diagonais possíveis a partir do vértice A.

Diagonal  Dentre os 7 vértices restantes, (D, E, F, G, H, I, J) podemos escolher 2 para a outra diagonal e subtrair os 6 lados formados por eles; a quantidade de diagonais é:

C7,6 – 6 = 21 – 6 = 15

Diagonal  (vértices restantes: E, F, G, H, I, J), de modo análogo, temos: 

C6,2 – 5 = 15 – 5 = 10

Diagonal  (vértices restantes: F, G, H, I, J), de modo análogo, temos: 

C5,2 – 4 = 10 – 4 = 6

Diagonal  (vértices restantes: G, H, I, J), de modo análogo, temos: 

C4,2 – 3 = 6 – 3 = 3

Diagonal  (vértices restantes: H, I, J), de modo análogo, temos: 

C3,2 – 2 = 3 – 2 = 1

Diagonais  e  não existe nenhuma diagonal que sirva.

Portanto, existem 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35 pares para o vértice A. Considerando que, ao contar para todos os vértices, cada par será contado duas vezes, o número total de pares de diagonais que não se interceptam será dado por 

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Considere dois líquidos voláteis, A e B, que são completamente miscíveis entre si e que formam uma solução ideal em toda a amplitude de concentrações.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Prova ITA 2023 (2ª Fase) com Gabarito