OBMEP 2023: Considere o conjunto dos primeiros 17 inteiros positivos, {1, 2, 3, ..., 17}

OBMEP 2023: Considere o conjunto dos primeiros 17 inteiros positivos, {1, 2, 3, ..., 17}. Dois números desse conjunto são escolhidos de forma que o produto desses dois números seja iguais à soma dos 15 números restantes.

Qual é o valor desses produtos?

(A) 100
(B) 110
(C) 120
(D) 130
(E) 140

RESOLUÇÃO:
Sejam a e b os números escolhidos. Assim, temos

(1 + 2 + ... + 17) – a – b = ab,

ou seja, 153 = a + b + ab. Logo,

154 = a + b + ab + 1 = (a + 1)(b + 1).

Considerando os divisores inteiros positivos de 154 = 2 ⋅ 7 ⋅ 11 e lembrando que tanto a + 1 quanto b + 1 são menores que 19, a única possibilidade é {a + 1, b + 1} = {11,14} e assim
a ⋅ b = 10 ⋅ 13 = 130.

GABARITO:
(D) 130

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