OBMEP 2023: Nas faces de um cubo estão escritos números inteiros positivos diferentes, entre os quais 1, 3 e 6, como na figura

OBMEP 2023: Nas faces de um cubo estão escritos números inteiros positivos diferentes, entre os quais 1, 3 e 6, como na figura

OBMEP 2023: Nas faces de um cubo estão escritos números inteiros positivos diferentes, entre os quais 1, 3 e 6, como na figura. O produto de números escritos em faces opostas é sempre o mesmo.

Além disso, existem 3 faces diferentes nas quais os números escritos têm produto igual a 98. Qual é a maior número que aparece em alguma face desse cubo?

(A) 7

(B) 14

(C) 21

(D) 28

(E) 42

RESOLUÇÃO:

Sejam a, b, c números inteiros positivos tais que 1 ⋅ a = 3 ⋅ b = 6 ⋅ c. Sabemos que nenhum deles é igual a 1, 3 ou 6. Vemos na tabela abaixo alguns ternos de inteiros que satisfazem as condições dadas.

Como 98 =1 x 2 x 7 x 7 , podemos concluir que três dos números distintos que apareceram nas faces são 1, 7 e 14. O 1 certamente é um dos números que podem aparecer, conforme visto na figura. Na tabela abaixo, se fizermos c = 7, teremos b= 14 e a = 42.

Ou seja, os números 7 e 14 também podem aparecer em algumas das faces; isto ocorre quando os números das faces são 1, 3, 6, 42 (face oposta à de número 1), 14 (oposta a 3) e 7 (oposta a 6).

O maior dentre os números que aparecem em alguma face desse cubo é 42. Esta resposta é única, pois o número 7 não pode aparecer como valor de a ou de b.

GABARITO:

(E) 42

PRÓXIMA QUESTÃO:

- OBMEP 2023: Em um teatro, cindo garotos e cinco garotas escolheram aleatoriamente seus lugares em uma fila com exatamente 10 cadeiras.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas 18ª OBMEP 2023 (1ª FASE) com Gabarito