OBMEP 2023: A figura tem 8 lados de medida 10 cm, 4 lados de medida 20 cm, 4 ângulos de 60 º, 4 ângulos de 90º e 4 ângulo de 300º

OBMEP 2023: A figura tem 8 lados de medida 10 cm, 4 lados de medida 20 cm, 4 ângulos de 60 º, 4 ângulos de 90º e 4 ângulo de 300º

OBMEP 2023: A figura tem 8 lados de medida 10 cm, 4 lados de medida 20 cm, 4 ângulos de 60 º, 4 ângulos de 90º e 4 ângulo de 300º.

Qual é a área da figura?

(A) 100 cm²

(B) 120 m²

(C) 200 m²

(D) 400 m²

(E) 420 m²

RESOLUÇÃO:

Como os ângulos APM e BNM são congruentes (medem ambos 60O), bem como os segmentos AP e BN (que medem 10 cm), concluímos que o quadrilátero PANB é um paralelogramo. Portanto, suas diagonais AB e PN se encontram em seu ponto médio M.

Consequentemente, são congruentes os triângulos AMP e BMN (pelo caso ALA de congruência de triângulos).

Logo, a área do triângulo AMP é igual à área do triângulo BMN. Podemos concluir o mesmo com os demais triângulos fora do quadrilátero ADCB, dada a simetria de rotação de 90O da figura.

Dessa maneira, concluímos que a área da figura dada é igual à área do quadrilátero ADCB, que é um quadrado, pois AB = AD = CD = CB e ângulos internos são retos (note que o triângulo AMP é equilátero, logo a medida do ângulo BAT é 30O. Como o triângulo adjacente também é equilátero, concluímos que o ângulo BAD é reto.

Provamos da mesma forma que os outros ângulos internos são retos. Assim, ADCB é um quadrado cujo lado mede 20 cm, portanto sua área é igual a 20 x 20 = 400 cm². Essa é a área da figura dada. 

GABARITO:

(D) 400 m²

PRÓXIMA QUESTÃO:

- OBMEP 2023: Considere o conjunto dos primeiros 17 inteiros positivos, {1, 2, 3, ..., 17}. Dois números desse conjunto são escolhidos de forma que o produto desses dois números seja iguais à soma dos 15 números restantes.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas 18ª OBMEP 2023 (1ª FASE) com Gabarito