OBMEP 2023: A malha triangular da figura é formada por 25 triângulos equiláteros

OBMEP 2023: A malha triangular da figura é formada por 25 triângulos equiláteros. Com dois desses triângulos vizinhos obtemos um losango, como os destacados em amarelo na figura. Quantos losangos podem ser formados dessa maneira?


(A) 25
(B) 30
(C) 36
(D) 42
(E) 45

RESOLUÇÃO:

Os losangos que podem ser formados se dividem nos tipos I, II e III, como na figura ao lado. Os possíveis losangos do tipo I estão indicados com as cores vermelho, verde, azul e amarelo na primeira das figuras abaixo; contando em linhas de baixo para cima, vemos que eles são em número de 4+3+2+1=10. De modo análogo, o número de possíveis losangos do tipo II também é 10, assim como os do tipo III. No total, temos 10+10+10=30 losangos possíveis.

tipo

Outra maneira de contar é observar que os triângulos menores, com exceção dos cinco triângulos que têm um lado em comum com o lado esquerdo do triângulo maior, podem ser divididos em pares de modo a formar todos os possíveis losangos do tipo I, que são então em número de


O mesmo argumento com relação aos lados esquerdo e inferior do triângulo maior, respectivamente, se aplica a losandos dos tipos II e III, e chegamos novamente a 30 losangos possíveis.

Ainda outra solução é ilustrada abaixo

pirâmide

Aqui vemos a figura que ilustra os losangos do tipo I na posição original e também rotacionada duas vezes de modo que sua base fique horizontal, ilustrando assim todos os losangos dos tipos II e III, respectivamente. O número de losangos não muda a cada rotação, e como ele é 10 na primeira figura segue, mais uma vez, que temos 30 losangos possíveis.

GABARITO:
(B) 30

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