OBMEP 2023: Tia Zélia tem 10 sobrinhos e Mariana é a sobrinha mais velha

OBMEP 2023: Tia Zélia tem 10 sobrinhos e Mariana é a sobrinha mais velha

OBMEP 2023: Tia Zélia tem 10 sobrinhos e Mariana é a sobrinha mais velha. Tia Zélia notou que todos os seus sobrinhos tem idade diferentes e que a coma de suas idades é 110 anos. Qual é a menor idade que Mariana pode ter?

(A) 12

(B) 14

(C) 15

(D) 16

(E) 18

RESOLUÇÃO:

De acordo com o enunciado, Tia Zélia tem 10 sobrinhos cujas idades somam 110 anos. Mariana não pode ter menos do que (110/10) = 11 anos; se tivesse, todos os sobrinhos também teriam, pois ela é a mais velha, e a soma das idades de todos seria inferior a 110. Se todos pudessem ter a mesma idade, então teríamos dez sobrinhos com 11 anos.

11+11+11+11+11+11+11+11+11+11=110

Como todos os sobrinhos de Tia Zélia têm idades diferentes, devemos ir diminuindo as idades dos sobrinhos mais novos nas parcelas acima e aumentando as idades dos sobrinhos mais velhos, até que todas as idades fiquem diferentes. Porém, ao diminuir a idade de um sobrinho mais novo em um ano, temos que aumentar a idade de um sobrinho mais velho também em um ano, para manter a soma das idades igual a 110. Vamos fazer isto aumentando a idade de Mariana de 1 em 1. Podemos proceder da seguinte forma:

● diminuindo a idade de um dos sobrinhos mais novos:

● 10+11+11+11+11+11+11+11+11+12=110

● diminuindo a idade de dois dos sobrinhos mais novos:

● 9+10+11+11+11+11+11+11+12+13=110

● diminuindo a idade de três dos sobrinhos mais novos:

● 8+9+10+11+11+11+11+12+13+14=110

● diminuindo a idade de quatro dos sobrinhos mais novos:

● 7+8+9+10+11+11+12+13+14+15=110

● diminuindo a idade de cinco dos sobrinhos mais novos:

● 6+7+8+9+10+12+13+14+15+16=110

Logo, a menor idade que Mariana, a sobrinha mais velha, pode ter é 16 anos. 

GABARITO:

(D) 16

PRÓXIMA QUESTÃO:

- OBMEP 2023: Alice, Beatriz, Cláudia e Daniela estão vestidas de azul, branco, vermelho e preto, cada uma de uma única cor.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas 18ª OBMEP 2023 (1ª FASE) com Gabarito