OBMEP 2023: Quantos são os números A B C de três algarismos distintos tais que o número A B, de dois algarismos, seja divisor de A B C?

OBMEP 2023: Quantos são os números A B C de três algarismos distintos tais que o número A B, de dois algarismos, seja divisor de A B C?

OBMEP 2023: Quantos são os números A B C de três algarismos distintos tais que o número A B, de dois algarismos, seja divisor de A B C?

(A) 1

(B) 36

(C) 72

(D) 80

(E) 144

RESOLUÇÃO:

A notação A B C é usada para denotar o número A B C = A.10² + B.10 + C. É claro que A B C = 10 x A B + C e, assim, (A B C / A B) = 10 + (C/ A B). 

Para que A B C / A B seja um número inteiro, C/ A B deve ser inteiro, mas o denominador A B é maior do que o numerador C e a única possibilidade de isso acontecer ocorre quando C = 0. O resultado A B 0 / A B = 10 é inteiro para todo algarismo A diferente de zero e para todo algarismo B.

Há, então, 9 possibilidades para A e 8 possibilidades para B, já que C = 0 já foi utilizado e os algarismos A, B e C devem ser todos diferentes. Conclusão: são 9 x 8 = 72 as possibilidades de A B C / A B ser um número inteiro.

GABARITO:

(C) 72

PRÓXIMA QUESTÃO:

- OBMEP 2023: Quatro números inteiros positivos, não necessariamente distintos, estão escritos em um quadro.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas 18ª OBMEP 2023 (1ª FASE) com Gabarito