OBMEP 2023: Quatro números inteiros positivos, não necessariamente distintos, estão escritos em um quadro

OBMEP 2023: Quatro números inteiros positivos, não necessariamente distintos, estão escritos em um quadro

OBMEP 2023: Quatro números inteiros positivos, não necessariamente distintos, estão escritos em um quadro. O produto deles é 2048 e a soma é 67. Qual é a menos soma possível de três desses números?

(A) 3

(B) 35

(C) 51

(D) 59

(E) 64

RESOLUÇÃO:

Note que 2048 = 2¹¹ é uma potência de 2. Portanto, todos os quatro números escritos no quadro são potências de 2. Assim, devemos escrever 67 como uma soma de 4 parcelas, todas elas potências de 2. Há duas maneiras de se fazer isso:

● 67 = 64 + 1 + 1 + 1 (nesse caso o produto das parcelas é 64.1.1.1 ≠ 2048) e 

● 67 = 32 + 32 + 2 + 1 (é a única possibilidade de atender ao enunciado).

Portanto, a menor soma possível de três dessas potências é 2⁵ + 2¹ + 2⁰ = 32 + 3 = 35. 

GABARITO:

(B) 35

PRÓXIMA QUESTÃO:

- OBMEP 2023: Elisa cortou 4 quadrados iguais dos cantos de um cartão retangular para montar uma caixa sem tampa. As faces laterais da caixa têm áreas 24 cm² ou 28 cm, conforme a figura.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas 18ª OBMEP 2023 (1ª FASE) com Gabarito