OBMEP 2023: Uma tira retangular tem comprimento a e largura b. Ao dobrar a tira, a sobreposição de suas pontas formou um quadrado de lado b

OBMEP 2023: Uma tira retangular tem comprimento a e largura b. Ao dobrar a tira, a sobreposição de suas pontas formou um quadrado de lado b e o resultado da dobra foi um pentágono sem nenhum buraco no centro, como indicado nas figuras.

Qual é a razão a/b?

(A) 4 + √2

(B) 2(2 + √2)

(D) 3(√2 - 1)

(E) 4(√2 + 1)

RESOLUÇÃO:

A tira retangular ABCD, em linhas tracejadas na figura, tem largura AB = a e altura BC = b. Depois das dobras em RV e QM, nessa ordem, vemos o lado esquerdo da tira dobrado sobre o lado direito dobrado da tira, de modo que a sobreposição das duas partes dobradas seja exatamente o quadrado PTSU, na figura.

Além disso, o vértice inferior S desse quadrado pertence à borda superior da tira AB (há casos em que S cai fora da tira e há casos em que S cai dentro da tira, dependendo das dimensões a e b). Assim, RS = PS = √2 PU = √2b. Da simetria das figuras, temos também que