OBMEP 2019: Em uma lanchonete, um pão de queijo, dois cachorros-quentes e um suco de laranja custam juntos R$ 31,00

OBMEP 2019: Em uma lanchonete, um pão de queijo, dois cachorros-quentes e um suco de laranja custam juntos R$ 31,00; já três pães de que...

OBMEP 2019: Em uma lanchonete, um pão de queijo, dois cachorros-quentes e um suco de laranja custam juntos R$ 31,00; já três pães de queijo, três cachorros-quentes e dois sucos de laranja custam juntos R$ 59,00.

Qual é a diferença entre os preços de um cachorro-quente e de um pão de queijo?

A) R$ 1,00
B) R$ 1,50
C) R$ 2,00
D) R$ 2,50
E) R$ 3,00

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: Uma função f é tal que fpara todo número real x diferente de 0 e 1.

RESOLUÇÃO:
Vamos usar as letras p, c e s para denotar o preço (em reais) de um pão de queijo, de um cachorro-quente e de um suco de laranja, respectivamente. O enunciado nos diz que 𝑝 + 2𝑐 +𝑠 = 31 e 3𝑝 + 3𝑐 +2𝑠 = 59. Multiplicando a primeira expressão por 2 e subtraindo do resultado, pois, assim, a segunda expressão, obtemos

2(𝑝 + 2𝑐 + 𝑠)− (3𝑝 + 3𝑐 + 2𝑠) = 𝑐 − 𝑝

e, por outro lado,

2(𝑝 + 2𝑐 +𝑠) − (3𝑝 + 3𝑐 +2𝑠) = 2 ⋅ 31− 59 = 3

ou seja, 𝑐 −𝑝 = 3.

Vamos a outra solução; ao contrário da anterior, onde o 𝑐 − 𝑝 apareceu “por acaso”, nessa vamos sistematicamente em busca de 𝑐 − 𝑝, escrevendo

31 = 𝑝 +2𝑐 + 𝑠 = 2(𝑐 −𝑝) + 3𝑝 + 𝑠

e

59 = 3𝑝 + 3𝑐 + 2𝑠 = 3(𝑐 − 𝑝) +6𝑝 +2𝑠.

Observando essas expressões, notamos que o 6𝑝 + 2𝑠 da segunda é duas vezes o 3𝑝 + 𝑠 da primeira, o que sugere multiplicar a primeira expressão por 2 e subtrair a segunda do resultado, pois assim os termos em p e s desaparecem, restando apenas um termo em 𝑐 −𝑝. Temos então

2 ⋅ 31 − 59 = [4(𝑐 − 𝑝)+ 6𝑝 + 2𝑠] − [3(𝑐 − 𝑝) +6𝑝 +2𝑠] = 𝑐 − 𝑝

ou seja, temos 𝑐 −𝑝 = 3 como antes.

GABARITO:
E) R$ 3,00

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Na conta ao lado, as letras A, B e C representam algarismos não nulos e diferentes entre si. Qual é o valor de C?

Questão disponível em:
- Questões OBMEP 2019 com Gabarito e Resolução