OBMEP 2019: Joãozinho montou uma tabela com todos os valores de a, b e c no conjunto {0,1,2,...,9}

OBMEP 2019: Joãozinho montou uma tabela com todos os valores de a, b e c no conjunto {0,1,2,...,9} tais que a² + 2bc = c² + 2ab. Observe alg...

OBMEP 2019: Joãozinho montou uma tabela com todos os valores de a, b e c no conjunto {0,1,2,...,9} tais que a² + 2bc = c² + 2ab. Observe algumas linhas da tabela:

Quantas linhas tem a tabela completa do Joãozinho?

A) 50
B) 100
C) 120
D) 130
E) 140

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: Uma mesa circular tem seis lugares com cadeiras de cores diferentes.

RESOLUÇÃO:
Reescrevendo a equação de forma conveniente, temos:

𝑎² + 2𝑏𝑐 = 𝑐² + 2𝑎𝑏 ⇔ 𝑎² −𝑐² = 2𝑎𝑏 − 2𝑏𝑐 ⇔ (𝑎 + 𝑐)(𝑎 − 𝑐) = 2𝑏(𝑎 −𝑐)

Se 𝑎 = 𝑐 então a equação é sempre verdadeira, independente do valor de 𝑏, já que ela se reduz a 0 = 0. Nesse caso, como 𝑎, 𝑏 e 𝑐 estão restritos ao conjunto {0,1,2,...,9}, temos 10 possibilidades para 𝑎 = 𝑐 e 10 possibilidades para 𝑏, totalizando 10 × 10 = 100 soluções diferentes.

Se 𝑎 ≠ 𝑐 então podemos cancelar o fator (𝑎 − 𝑐) em ambos os lados da equação, e ela será verdadeira quando 𝑎 + 𝑐 = 2𝑏. Nesse caso, devemos contar os casos em que 𝑎 + 𝑐 é um número par maior do que 0 e menor do que 18 (os casos 𝑎 + 𝑐 = 0 e 𝑎 + 𝑐 = 18 já foram contados anteriormente, pois eles ocorrem quando 𝑎 = 𝑐 = 0 e 𝑎 = 𝑐 = 9). Devido à simetria 𝑎 +𝑐 = 𝑐 + 𝑎, essa contagem pode ser feita considerando apenas os casos em que 𝑎 + 𝑐 é par com 𝑎 > 𝑐 e, depois, multiplicando o resultado por 2. Listando esses casos a partir do valor de 𝑎, temos:

* 𝑎 = 0 : nenhum caso
* 𝑎 = 1 : nenhum caso
* 𝑎 = 2 : somente 1 caso → 𝑐 = 0
* 𝑎 = 3 : somente 1 caso → 𝑐 = 1
* 𝑎 = 4 : somente 2 casos → 𝑐 = 0 e 𝑐 = 2
* 𝑎 = 5 : somente 2 casos → 𝑐 = 1 e 𝑐 = 3
* 𝑎 = 6 : somente 3 casos → 𝑐 = 0, 𝑐 = 2 e 𝑐 = 4
* 𝑎 = 7 : somente 3 casos → 𝑐 = 1, 𝑐 = 3 e 𝑐 = 5
* 𝑎 = 8 : somente 4 casos → 𝑐 = 0, 𝑐 = 2, 𝑐 = 4 e 𝑐 = 6
* 𝑎 = 9 : somente 4 casos → 𝑐 = 1, 𝑐 = 3, 𝑐 = 5 e 𝑐 = 7

Logo, somando todos os casos acima, temos 1 + 1+ 2 + 2+ 3 + 3+ 4 +4 = 20 soluções, e multiplicando por 2 devido à simetria temos um total de 40 soluções. Totalizando, temos 100 + 40 = 140 soluções diferentes de 𝑎² + 2𝑏𝑐 = 𝑐² +2𝑎𝑏 em que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 pertencem ao conjunto {0,1,2,...,9}. Logo, a tabela de Joãozinho tem 140 linhas.

GABARITO:
E) 140

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Marco tem dois relógios. Um deles marca as horas corretamente, e o outro atrasa 16 minutos por hora.

Questão disponível em:
- Questões OBMEP 2019 com Gabarito e Resolução