OBMEP 2019: Uma mesa circular tem seis lugares com cadeiras de cores diferentes

OBMEP 2019: Uma mesa circular tem seis lugares com cadeiras de cores diferentes. De quantos modos três casais de namorados podem ocupar esses seis lugares de forma que os três rapazes fi quem juntos e as três moças também, mas nenhum rapaz fi que junto de sua namorada?

A) 36
B) 54
C) 72
D) 108
E) 144

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: Flávia anotou quantas horas estudou no mês de novembro e montou a seguinte tabela

RESOLUÇÃO:
Os rapazes devem se sentar juntos ao redor da mesa; escolhemos primeiramente três posições vizinhas e a ordem dos rapazes nas posições escolhidas: isso pode ser feito de 6 x 6 = 36 modos diferentes. Fixemos uma dessas escolhas. Para raciocinar, digamos que foi escolhida a seguinte acomodação para os rapazes (observe que não há perda de generalidade aqui):

Vamos pensar na acomodação das moças. Na cadeira de número 6 não deve se sentar a namorada do rapaz 1 e, assim, há dois casos a considerar:

* Na cadeira 6 senta-se a moça que namora o rapaz 2. Nesse caso, como na cadeira 4 não deve se sentar a moça que namora o rapaz 3, há somente uma possibilidade de acomodação das moças. Fazendo variar a posição dos rapazes, há, portanto, um total de 1 x 36 = 36 possibilidades.

* Na cadeira 6 senta-se a moça que namora o rapaz 3. As cadeiras 4 e 5 podem ser usadas pelas namoradas dos rapazes 1 e 2 (duas possibilidades). Fazendo variar a posição dos rapazes, há, portanto, um total de 2 x 36 = 72 possibilidades.

Somando os dois casos acima, concluímos que há 36 + 72 = 108 possibilidades de ocupar as cadeiras, de acordo com as exigências do enunciado.

OUTRA RESOLUÇÃO:
Pensando primeiramente no trio de homens, chamaremos o que fica entre os outros dois de “homem central” e os outros dois de “homem da direita” e “homem da esquerda”.

Em qual cadeira ficará o homem central? 6 possibilidades.
Qual será o homem central? 3 possibilidades.
Qual será o homem da direita? 2 possibilidades.
Qual será o homem da esquerda? 1 possibilidade.

Após posicionados os homens, vamos chamá-los de A, B e C, e as respectivas namoradas de A’, B’ e C’.

Basta decidir agora em qual cadeira B’ (namorada do homem central) se sentará, pois, após ela se sentar, as posições das outras namoradas ficarão amarradas.

Qual será a posição de B’? 3 possibilidades.
Qual será a posição de A’? 1 possibilidade.
Qual será a posição de C’? 1 possibilidade.

Assim, o número de maneiras de arrumar os 3 casais nas condições estabelecidas é:
N = 6 x 3 x 2 x 1 x 3 x 1 x 1 = 108.

GABARITO:
D) 108

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Joãozinho montou uma tabela com todos os valores de a, b e c no conjunto {0,1,2,...,9} tais que a² + 2bc = c² + 2ab. Observe algumas linhas da tabela

Questão disponível em:
- Questões OBMEP 2019 com Gabarito e Resolução