(OBMEP) A maior potência de 2 que divide o produto 1 × 2 × ∙∙∙ × 2023 × 2024 é 2²⁰¹⁷

(OBMEP) A maior potência de 2 que divide o produto 1 × 2 × ∙∙∙ × 2023 × 2024 é 2²⁰¹⁷. Qual é a maior potência de 2 que divide o produto 1 × 2 × ∙∙∙ × 4047 × 4048?

A) 2²⁰¹⁸
B) 2⁴⁰³⁴
C) 2⁴⁰⁴¹
D) 2⁶⁰⁵¹
E) 2⁸⁰⁶⁸

QUESTÃO ANTERIOR:

- (OBMEP) Na figura, o arco AC é um quarto de uma circunferência de centro D e o arco AB é um oitavo de uma circunferência de centro C. O segmento AD mede 2 cm. Qual é a área em cm² da região verde?

RESOLUÇÃO:
Como 2²⁰¹⁷ é a maior potência de dois que divide o produto 1 x 2 x 3 ... x 2023 x 2024, podemos escrever esse produto na forma 2²⁰¹⁷ x I, sendo I um número ímpar.

Já o produto 1 x 2 x 3 x ... x 4047 x 4048 pode ser escrito da seguinte maneira:

1 x (2 x 1) x 3 x (2 x 2) x 5 x (2 x 3) ... x (2 x 2023) x 4047 x (2 x 2024) =
(1 x 3 x 5 x ∙∙∙ x 4047) x (2 x 1) x (2 x 2) x (2 x 3) x (2 x 2023) x (2 x 2024) =
(1 x 3 x 5 x ∙∙∙ x 4047) x (1 x 2 x 3 x ... x 2023 x 2024) x 2²⁰²⁴ =
(1 x 3 x 5 x ∙∙∙ x 4047) x | x 2²⁰¹⁷ x 2 ²⁰²⁴

O primeiro fator da última expressão também é um número ímpar, logo, 1 x 2 x 3 x ... x 4047 x 4048 = T x 2²⁰¹⁷⁺²⁰²⁴ = T x 2⁴⁰⁴¹, sendo T um fator ímpar. Assim, o expoente da maior potência de dois que divide o produto dado é 4041.

RESOLUÇÃO EM VÍDEO:

GABARITO:

C) 2⁴⁰⁴¹

PRÓXIMA QUESTÃO:

- (OBMEP) No interior do quadrado ABCD de lado 9 cm, foram traçadas as semicircunferências de centros E, F e G, tangentes como indicado na figura. Qual é a medida de AG?

Questão disponível em:

- Questões OBMEP com Gabarito e Resolução