(OBMEP) No interior do quadrado ABCD de lado 9 cm, foram traçadas as semicircunferências de centros E, F e G

(OBMEP) No interior do quadrado ABCD de lado 9 cm, foram traçadas as semicircunferências de centros E, F e G, tangentes como indicado na fig...

(OBMEP) No interior do quadrado ABCD de lado 9 cm, foram traçadas as semicircunferências de centros E, F e G, tangentes como indicado na figura. Qual é a medida de AG?

QUESTÃO ANTERIOR:

- (OBMEP) A maior potência de 2 que divide o produto 1 × 2 × ∙∙∙ × 2023 × 2024 é 2²⁰¹⁷. Qual é a maior potência de 2 que divide o produto 1 × 2 × ∙∙∙ × 4047 × 4048?

RESOLUÇÃO:
Inicialmente definimos as variáveis AG = x e DF = y, que são os raios dos semicírculos com centros em G e F, respectivamente.

O raio do semicírculo com centro em E é igual a 9/2. Como ele é tangente ao semicírculo com centro em F, EF é igual a (9/2) + y. Como CE = 9/2 e CF = 9 – y, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo CEF, temos:

((9/2) + y)² = (9/2)² + (9 – y)² → (81/4) + 9y + y² = (81/4) + 81 – 18y + y² → y = 3.

Como os semicírculos com centros em F e G são tangentes, FG = x + y = x + 3. Além disso, DG = 9 – x e DF = 3.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo DFG, temos:
(3 + x)² = 3² + (9 – x)² → 9 + 6x + x² = 9 + 81 – 18x + x² → x = AG = 27/8.

RESOLUÇÃO EM VÍDEO:

GABARITO:

PRÓXIMA QUESTÃO:

- (OBMEP) Por duas vezes Benício juntou, como na figura, três dados com faces numeradas de 1 a 6, de tal modo que faces em contato tivessem o mesmo número. Em cada uma das vezes ele somou os números de todas as faces que não ficaram em contato entre si.

Questão disponível em:

- Questões OBMEP com Gabarito e Resolução