(OBMEP) Na figura abaixo, BHEG é um retângulo com BG > BH, e A, C, D, F são pontos médios de seus respectivos lados

(OBMEP) Na figura abaixo, BHEG é um retângulo com BG > BH, e A, C, D, F são pontos médios de seus respectivos lados. Um ponto P desloca-se ao longo da poligonal ABCDEF, partindo de A até o ponto F.

Qual é o gráfico que melhor representa a área R(x) do triângulo APF em função da distância x percorrida pelo ponto P ao longo dessa poligonal?

QUESTÃO ANTERIOR:

- (OBMEP) Na figura, os ângulos

medem 120°, o ângulo

é reto, e os segmentos BC e CD medem 4 cm e 8 cm, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero ABCD em cm²?

RESOLUÇÃO:
Sejam

Estudaremos separadamente a função R(x), dependendo da posição do ponto P na poligonal ABCDEF.

Caso 1) P está no segmento AB: 0 ≤ x ≤ a.

Como mostra a figura, nesse caso a altura do triângulo relativa à base AP é sempre

Assim,

Caso 2) P está no segmento BC: a ≤ x ≤ a + b.

De acordo com a figura, segue que

Caso 3) P está no segmento

Na figura, o segmento auxiliar DI é perpendicular aos segmentos paralelos CD e AF. A altura do triângulo AFP relativa à base AF permanece constante, com medida

, logo, a área do triângulo AFP é constante e seu valor é determinado no momento em que P está em C, ou seja,

Com as informações coletadas nos casos 1, 2 e 3, percebe-se que os únicos gráficos que podem representar a área R(x) são os apresentados em B) e E). No entanto, observamos que, quando o ponto P chega ao final do percurso (ponto F), ou seja, quando

, o triângulo AFP degenera no segmento AF, sendo sua área igual a zero. Assim, o gráfico que melhor representa R(x) é o apresentado em E).

RESOLUÇÃO EM VÍDEO:

GABARITO: