(OBMEP) Por duas vezes Benício juntou, como na figura, três dados com faces numeradas de 1 a 6

(OBMEP) Por duas vezes Benício juntou, como na figura, três dados com faces numeradas de 1 a 6, de tal modo que faces em contato tivessem o mesmo número. Em cada uma das vezes ele somou os números de todas as faces que não ficaram em contato entre si.

A diferença entre as somas obtidas foi 16. Quais são os números das faces que nunca ficaram em contato entre si?

A) 1 e 4
B) 1 e 6
C) 2 e 5
D) 3 e 4
E) 2 e 6

QUESTÃO ANTERIOR:

- (OBMEP) No interior do quadrado ABCD de lado 9 cm, foram traçadas as semicircunferências de centros E, F e G, tangentes como indicado na figura. Qual é a medida de AG?

RESOLUÇÃO:
Observe que a soma dos números das seis faces de um dado é 21. Assim, a soma de todos os números dos três dados é 63. Consequentemente, a maior soma que Benício pode obter é igual a 57, quando as faces em contato corresponderem aos números 1 e 2. De fato, a menor soma possível para os números das faces em contato garante a maior soma possível para os números das faces que não ficam em contato: 57 = 63 – 6 = 63 – (1 + 1 + 2 + 2).

Analogamente, a menor soma possível para Benício obter é igual a 41, quando as faces em contato corresponderem aos números 5 e 6: 41 = 63 – 22 = 63 – (5 + 5 + 6 + 6).

Como 16 = 57 – 41, ou seja, 16 é o resultado da diferença entre a maior soma e a menor soma possíveis, essa foi a situação observada por Benício. De fato, as demais diferenças entre as possíveis somas são menores que 16, uma vez que esse é o resultado entre as duas situações extremas.

Consequentemente, as faces que não ficaram em contato nas duas observações de Benício correspondem aos números 3 e 4.

Outra resolução:
A soma dos números de cada dado é 21. Se, na primeira montagem, os números em contato são a e b, a soma dos números que não ficaram em contato é S1 = 3 x 21 – (2a + 2b) = 63 – 2(a + b). O fator 2 se explica notando que são sempre pares de faces em contato. Além disso, temos que a e b são necessariamente distintos.

Da mesma forma, na segunda montagem, se os números das faces em contato são c e d, a soma dos números que não ficaram em contato será S2 = 63 – 2(c + d).

Sem perda de generalidade, podemos supor que S1 ≥ S2.

A diferença entre esses números é 16, ou seja:

(63 – 2(a + b)) – (63 – 2(c + d)) = 16 → (c + d) – (a+ b) = 8.

Vamos analisar as possíveis soluções dessa equação, com a, b, c e d inteiros entre 1 e 6, e a ≠ b e c ≠ d.

O valor máximo de (c + d) – (a+ b) é obtido quando c + d é máximo e a + b é mínimo. Isso ocorre com c + d = 5 + 6 = 11 e a + b = 1 + 2 = 3. Assim, a diferença que Benício encontrou é, justamente, a máxima possível. Isso implica que os números que nunca estiveram em contato são 3 e 4.

RESOLUÇÃO EM VÍDEO:

GABARITO:

D) 3 e 4

PRÓXIMA QUESTÃO:

- (OBMEP) Na figura, os ângulos