OBMEP 2019: As amigas Ana, Beatriz, Cláudia e Diana têm uma bola cada uma

OBMEP 2019: As amigas Ana, Beatriz, Cláudia e Diana têm uma bola cada uma. Quando toca um sinal, cada menina escolhe, ao acaso, uma de s...

OBMEP 2019: As amigas Ana, Beatriz, Cláudia e Diana têm uma bola cada uma. Quando toca um sinal, cada menina escolhe, ao acaso, uma de suas três amigas para jogar sua bola.

a) Qual é a probabilidade de que Ana receba três bolas?

b) Qual é a probabilidade de que Ana receba exatamente duas bolas?

c) Qual é a probabilidade de que cada menina receba uma bola?

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: Um triângulo com vértices em três dos 16 pontos do quadriculado ao lado é chamado de torto quando, no máximo, um de seus lados está sobre as linhas do quadriculado.

GABARITO:
a) 1ª solução (baseada em contagem)
Existem 34 = 81 possibilidades do jogo. Ana deve receber as bolas de Beatriz, de Cláudia e de Diana e deve jogar sua bola para uma dessas três amigas; logo a probabilidade de Ana receber três bolas é

2ª. solução:
Para que Ana receba três bolas, todas as outras três amigas devem necessariamente mandar sua bola para ela. Note que cada garota pode mandar a bola para uma dentre três possíveis pessoas. Assim, a probabilidade de que Beatriz mande a bola para Ana éEmpregando o mesmo raciocínio, percebemos que a probabilidade de que Cláudia mande a bola para Ana ée de que Diana mande a bola para Ana também é

Todos esses lançamentos são independentes, isto é, o resultado de um lançamento não afeta o resultado de outro lançamento. Assim, a probabilidade de Ana receber as três bolas será de

b) 1ª. Solução (baseada em contagem)
Existem 3⁴ = 81 possibilidades do jogo. Em 18 desses jogos Ana recebe exatamente 2 bolas. De fato, se Beatriz é a única que não joga sua bola para Ana, há 6 possibilidades de jogo, pois Beatriz deve jogar sua bola para Cláudia ou para Diana, e Ana pode jogar sua bola para qualquer uma de suas três amigas (são 6 as possibilidades de jogo nesse caso).

O mesmo ocorre se Cláudia for a única que não joga sua bola para Ana (outras 6 possibilidades) e também se Diana for a única que não joga sua bola para Ana (mais 6 possibilidades). Logo a probabilidade de que Ana receba exatamente duas bolas é

2ª. Solução:
Vamos calcular inicialmente a probabilidade de que Ana receba a bola de Beatriz e Cláudia, mas não receba a bola de Diana. Observe que a probabilidade desse evento éuma vez que Diana não entrega a bola a Ana. Note ainda que também devemos considerar o evento no qual Beatriz é a única que não manda a bola para Ana e o evento no qual Cláudia é a única que não manda a bola para Ana. Estes dois eventos também possuem probabilidade igual apelo mesmo raciocínio utilizado para encontrarmos a probabilidade do primeiro evento analisado neste item. Assim, a probabilidade de Ana receber exatamente duas bolas é

c) 1ª. Solução (baseada em contagem)
Existem 3⁴ = 81 possibilidades do jogo. Novamente vamos calcular o número de casos favoráveis. Observa-se que a primeira criança C1 tem 3 possibilidades de para quem jogar a bola. Seja C2 a criança que recebeu a bola de C1 e observe que C2 também tem 3 possibilidades para jogar sua bola.

Agora, as outras duas crianças, C3 e C4, têm apenas uma opção cada, pois se C2 jogou a sua bola para C1, necessariamente C3 deve jogar a bola para C4 e vice versa.

Na possibilidade de C2 ter jogado a sua bola para C3 ou C4 (digamos C3), então C3 terá que necessariamente jogar para C4 que por sua vez devolve para C1. Pelo princípio multiplicativo, as possibilidades favoráveis são 3.3.1.1 = 9. Logo, a probabilidade de que cada menina receba uma bola é

Uma variação dessa solução é a seguinte:
Cada uma das quatro garotas pode passar a bola para uma dentre três de suas amigas. Assim, pelo princípio multiplicativo, temos um total de 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3⁴ = 81 configurações diferentes resultantes, após tocar o sinal. Agora iremos calcular quantas dessas configurações são tais que cada garota fique com uma bola no final. Chamaremos essas configurações de desejáveis. Veja que Ana tem três opções para mandar sua bola para alguém. A pessoa que receber a bola de Ana também terá três opções, porém vamos separar essa opção em dois casos:

Caso 1: Essa pessoa manda sua bola para Ana. Nesse caso, as outras duas pessoas deverão trocar suas bolas entre si (há 3 possibilidades nesse caso).

Caso 2: Essa pessoa manda sua bola para uma terceira pessoa. Nesse caso, essa terceira pessoa deverá enviar (necessariamente) sua bola para a quarta pessoa. Caso contrário, alguém iria receber mais de uma bola ou alguém ficaria sem receber bola. Note ainda que essa quarta pessoa deverá enviar sua bola necessariamente para Ana.

Nesse caso, há 3 x 2 = 6 possibilidades.
Logo, temos um total de 3 + 6 = 9 configurações desejáveis. Portanto, a probabilidade de uma delas surgir é de

2ª. Solução:
Dividimos em dois casos que dependem de para onde a segunda pessoa joga a bola, se de volta para a primeira pessoa ou se para outra pessoa.

A probabilidade do primeiro caso ocorrer é dee, dentro desse caso, a probabilidade de que, ao final, todas as meninas estejam com uma bola é de

A probabilidade do segundo caso ocorrer é dee, dentro desse caso, a probabilidade de que ao final todas as meninas estejam com uma bola, também é de

Assim, podemos calcular a probabilidade desejada diretamente:

Há muitas outras formas de calcular as probabilidades, uma delas usa o número de permutações caóticas para se obter o número de caos favoráveis:

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: a) Na figura abaixo, o ponto O no interior do retângulo ABCD é tal que OF = 2, OG = 6, OH = 3 e OI = 1. Os segmentos FG e HI são paralelos aos lados AB e BC, respectivamente. Calcule OB² + OD².

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Questões da OBMEP 2019 (2ª Fase) com Gabarito e Resolução