OBMEP 2019: Um triângulo com vértices em três dos 16 pontos do quadriculado ao lado é chamado de torto quando

OBMEP 2019: Um triângulo com vértices em três dos 16 pontos do quadriculado ao lado é chamado de torto quando, no máximo, um de seus lados está sobre as linhas do quadriculado. Por exemplo, o triângulo ABC é torto e o triângulo ABD não é torto.

a) Diga se cada um dos triângulos ACD e BCD da fi gura ao lado são tortos ou não.

b) Marque seis pontos no quadriculado de tal forma que qualquer triângulo com vértices em três desses pontos seja torto.

c) Explique por que, independentemente de como sete pontos sejam marcados no quadriculado, sempre vai existir um triângulo que não é torto com vértices nesses pontos.

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: Dizemos que uma fila de cadeiras de cinema está ocupada de forma quase-cheia quando não há duas cadeiras consecutivas ocupadas, mas a próxima pessoa a chegar será obrigada a sentar-se ao lado de uma cadeira já ocupada.

GABARITO:
a) O triângulo ACD é torto, e o triângulo BCD não é torto.

b) Duas soluções são as seguintes:

Há muitas outras soluções (por exemplo, girando ou refletindo convenientemente as soluções acima obtêm-se novas soluções).

c) Suponha que existam 7 pontos marcados no quadriculado e que qualquer triângulo com vértices em três desses pontos seja torto. Vamos mostrar que isso nos levará a uma contradição.

Como existem apenas 4 linhas, pelo menos uma delas terá no mínimo 2 pontos. Concentremos atenção nessa linha e vamos dividir nossa análise em casos.

Caso 1: Se essa linha contém 4 pontos marcados, o tabuleiro não pode possuir nenhum outro ponto marcado nas demais linhas, senão formaríamos triângulos não tortos, e isso é uma contradição. Como exemplo, observe na figura abaixo a formação de um triângulo não torto ao acrescentarmos um quinto ponto.

Caso 2: Se essa linha contém exatamente três pontos marcados, as colunas que passam por eles não podem conter outros pontos marcados, senão formaríamos triângulos não tortos. Assim, os demais 4 pontos ainda não marcados estão na coluna que não passa pelos três pontos já marcados, mas com 4 pontos marcados alinhados obtemos sempre triângulos não tortos com o auxílio de um quinto ponto, como vimos acima. Novamente chegamos a uma contradição. Veja uma situação típica:

Caso 3: Resta analisarmos a situação em que uma linha contém exatamente dois pontos, como ilustrado na figura a seguir.

Os demais 7 – 2 = 5 pontos devem ser distribuídos nas duas colunas que não contêm esses dois pontos, senão novamente formaríamos triângulos não tortos. Assim, pelo menos uma dessas colunas terá 3 ou 4 pontos marcados. Aplicando os argumentos dos casos 1 e 2, trocando linhas por colunas, chegamos novamente a uma contradição.

Logo, independentemente de como sete pontos sejam marcados no quadriculado, sempre vai existir um triângulo que não é torto com vértices nesses pontos.

Observação: Se escolhermos n + m – 1 pontos (ou mais) em um quadriculado n x m, então, necessariamente, 3 deles serão os vértices de um triângulo não torto.

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: As amigas Ana, Beatriz, Cláudia e Diana têm uma bola cada uma. Quando toca um sinal, cada menina escolhe, ao acaso, uma de suas três amigas para jogar sua bola.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Questões da OBMEP 2019 (2ª Fase) com Gabarito e Resolução