OBMEP 2019: A calculadora de Dario tem uma tecla especial

OBMEP 2019: A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número n diferente de 2 está no visor e ele aperta a tecla especial, aparece o número

Por exemplo, se o número 3 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece o número 6, pois

a) Se o número 6 está no visor, qual é o número que aparecerá se a tecla especial for apertada?

b) Explique por que, ao apertar duas vezes a tecla especial, Dario sempre obtém o número que estava inicialmente no visor.

c) Para quais valores no visor Dario obtém o mesmo número ao apertar a tecla especial uma única vez?

d) Qual é o número que nunca será obtido ao apertar a tecla especial?

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: Na figura, OA = OB = OC. Os pontos A, O e D estão alinhados, e os pontos D e E no segmento BC são tais que BD = DE = EC = OD = OE.

GABARITO:
a) Basta substituir 𝑛 por 6 e teremos

b) Vamos chamar de 𝑛 o número que estava no visor no início. Ao apertar pela primeira vez a tecla especial, aparecerá no visor

Com a tecla especial sendo apertada mais uma vez, teremos no visor o número

Substituindo 𝑦 por

temos que o número que aparecerá no visor é

c) Igualando n a

temos: 𝑛² − 2𝑛 = 2𝑛 ⟹ 𝑛² − 4𝑛 = 𝑛(𝑛 − 4) = 0. Assim, há duas soluções: 𝑛 = 0 e 𝑛 = 4.

d) Todo número diferente de 2 pode ser obtido ao apertar a tecla especial; como vimos no item b), para obter o número 𝑛 diferente de 2, basta digitar o número

O número que nunca será obtido no visor é o 2, pois se igualarmos

= 02 eremos 2𝑛 = 2𝑛 − 4, ou seja, 0 = −4, o que é impossível.

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Dizemos que uma fila de cadeiras de cinema está ocupada de forma quase-cheia quando não há duas cadeiras consecutivas ocupadas, mas a próxima pessoa a chegar será obrigada a sentar-se ao lado de uma cadeira já ocupada.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Questões da OBMEP 2019 (2ª Fase) com Gabarito e Resolução