OBMEP 2019: Dizemos que uma fila de cadeiras de cinema está ocupada de forma quase-cheia

OBMEP 2019: Dizemos que uma fila de cadeiras de cinema está ocupada de forma  quase-cheia  quando não há duas cadeiras consecutivas ocupadas...

OBMEP 2019: Dizemos que uma fila de cadeiras de cinema está ocupada de forma quase-cheia quando não há duas cadeiras consecutivas ocupadas, mas a próxima pessoa a chegar será obrigada a sentar-se ao lado de uma cadeira já ocupada.

Uma fila de 5 cadeiras tem exatamente quatro ocupações quase-cheias, mostradas abaixo. As cadeiras marcadas com X indicam que elas estão ocupadas.

a) Uma fila de 6 cadeiras possui cinco ocupações quase-cheias. Marque com X as cadeiras dessas ocupações.

b) Quantas são as ocupações quase-cheias em uma fi la de 8 cadeiras em que a segunda cadeira já está ocupada?

c) A tabela abaixo apresenta o número de ocupações quase-cheias para algumas fi las de cadeiras. Calcule o total de ocupações quase-cheias em uma fi la com 19 cadeiras. Justifique.

QUESTÃO ANTERIOR:
- OBMEP 2019: A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número n diferente de 2 está no visor e ele aperta a tecla especial, aparece o número

GABARITO:
a)

b) Como a segunda cadeira já está ocupada, a primeira e terceira cadeiras necessariamente devem ficar livres. Assim, os demais a chegar devem ocupar, de modo quase cheio, as 5 cadeiras restantes. Como visto no enunciado, há 4 possibilidades para a ocupação dessas cadeiras.

c) Vamos enumerar as cadeiras em ordem crescente. Em uma ocupação quase cheia de 19 cadeiras, exatamente uma das duas primeiras cadeiras deve estar ocupada.

- Com a primeira cadeira ocupada (e, em consequência, a segunda livre), as demais pessoas devem ocupar, de modo quase cheio, as outras 17 cadeiras. De acordo com a tabela, há 114 possibilidades para essa ocupação.

- Com a segunda cadeira ocupada (e, em consequência, as duas ao lado livres), as demais pessoas devem ocupar, de modo quase cheio, as outras 16 cadeiras. De acordo com a tabela, há 86 possibilidades para essa ocupação. Portanto, há um total de 114 + 86 = 200 ocupações quase cheias para 19 cadeiras.

Observação: A quantidade an de ocupações quase cheias de n cadeiras é dada pela recorrência a1 = 1, a2 = 2, a3 = 2 e an = an-2 + an-3, para todo n ≥ 4.

PRÓXIMA QUESTÃO:
- OBMEP 2019: Um triângulo com vértices em três dos 16 pontos do quadriculado ao lado é chamado de torto quando, no máximo, um de seus lados está sobre as linhas do quadriculado. Por exemplo, o triângulo ABC é torto e o triângulo ABD não é torto.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
- Questões da OBMEP 2019 (2ª Fase) com Gabarito e Resolução