ITA 2021: Determine as raízes comuns aos polinômios

ITA 2021: Determine as raízes comuns aos polinômios:

p(x) = x⁵ + x⁴ – 8x² – 9x + 15
e
q(x) = 3x⁴ + 6x³ + 13x² – 4x – 10.


QUESTÃO ANTERIOR:

RESOLUÇÃO (Cursos Objetivo):
1 é raiz de p(x), pois a soma dos coeficientes do polinômio é igual a zero, e não é raiz de q(x).

Aplicando o dispositivo de Briot – Ruffini, tem-se:

ITA 2021

Assim, o polinômio resultante é

1x⁴ + 2x³ + 2x² – 6x – 15 = 0 (I)

As raízes comuns desse polinômio com q(x) precisam ser soluções do sistema

1x⁴ + 2x³ + 2x³ – 6x –15 = 0 (I)
3x⁴ + 6x³ + 13x³ – 4x – 10 = 0 (II)

Multiplicando (I) por –3 e somando com (II), tem-se:

–3x⁴ – 6x³ – 6x² + 18x + 45 = 0 – 3 . (I)
3x⁴ + 6x³ + 13x² – 4x – 10 = 0 (II)
7x² + 14x + 35 = 0
x² + 2x + 5 = 0

Resolvendo a equação, tem-se:

x = –1 + 2i ou x = –1 – 2i

Assim, as raízes comuns são: –1 + 2i ou –1 – 2i

GABARITO:
–1 + 2i ; –1 – 2i

PRÓXIMA QUESTÃO:

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

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